Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 11

Resolva a inequação:

x + 1 2 - x < x x + 3

Passo 1

Pra começar vamos colocar as duas frações que compõem a inequação com o mesmo denominador fazendo MMC.

( x + 1 ) ( x + 3 ) ( 2 - x ) ( x + 3 ) < x ( 2 - x ) ( x + 3 ) ( 2 - x )

Fazendo a distributiva:

x 2 + 4 x + 3 ( 2 - x ) ( x + 3 ) < 2 x - x ² ( x + 3 ) ( 2 - x )

x 2 + 4 x + 3 ( 2 - x ) ( x + 3 ) - 2 x - x ² ( x + 3 ) ( 2 - x ) < 0

2 x 2 + 2 x + 3 ( 2 - x ) ( x + 3 ) < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos achar as raízes da função do numerador.

2 x 2 + 2 x + 3 = 0

x = - 2 ± - 20 4

Vish!! O delta é negativo, então essa função não possui raízes, portanto ela nunca cruza o eixo x e por isso é sempre positiva.

Passo 3

Vamos ver o sinal dos termos do denominador:

2 - x = 0 → x = 2

2 - x   é   n e g t i v o   q u a n d o : x > 2

2 - x   é   p o s i t v o   q u a n d o : x < 2

x + 3 = 0 → x = - 3

x + 3   é   n e g t i v o   q u a n d o : x < - 3

x + 3   é   p o s i t v o   q u a n d o : x > - 3

Passo 4

Agora vamos analisar todos os sinais juntos.

Portanto: x + 1 2 - x < x x + 3 → 2 x 2 + 2 x + 3 ( 2 - x ) ( x + 3 ) < 0

quando

x < - 3   o u   x > 2

Que também pode ser escrito assim:

( - ∞ ,   - 3 ) ⋃ ( 2 ,   ∞ )

Resposta

x < - 3   o u   x > 2

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