Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

Determine o domínio e resolva a seguinte inequação em R :

x 2 - 2 x - 3 x 2 + 2 x + 1 ≥ 0

Passo 1

Vamos começar determinando o domínio. Como tempos aqui uma razão de polinômios, o domínio será todo R exceto os pontos onde o denominador se anula. Neste caso em:

x 2 + 2 x + 1 = 0

Esse aí é um quadrado perfeito:

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Assim, temos:

x + 1 2 = 0 ⟹ x = - 1

Assim:

D = x ∈ R : x ≠ - 1

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Passo 2

Agora, vamos resolver a inequação. Para isso, vamos fatorar o máximo possível. Temos que:

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Quanto ao denominador, vamos usar Bhaskara. Temos que

x 2 - 2 x - 3 = 0

É uma equação na forma:

a x 2 + b c + c = 0

Com:

a = 1 b = - 2 c = - 3

Assim, teremos:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores:

x = + 2 ± - 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 3 2 ⋅ 1 = 2 ± 4 + 12 2 = 2 ± 4 2

Para cada sinal:

x 1 = 2 + 4 2 = 3

x 2 = 2 - 4 2 = - 1

Logo, podemos escrever: x 2 - 2 x - 3 = x - 3 x + 1

Então ficamos com:

x 2 - 2 x - 3 x 2 + 2 x + 1 ≥ 0

x - 3 x + 1 x + 1 2 ≥ 0

Podemos cortar o x + 1 com o quadrado embaixo, mas muito cuidado, que isso não muda nosso domínio, só facilita nossa resolução:

x - 3 x + 1 ≥ 0

Passo 3

Com tudo fatorado, vamos colocar cada termo em tabela e testar os sinais. Temos as raízes:

x = - 1

x = 3

Então criamos cada um dos intervalos:

x < - 1

- 1 < x < 3

x > 3

Assim, colocamos o intervalo na primeira linha da tabela e os termos na primeira coluna:

Passo 4

Montada a tabela, testamos os sinais de cada termo para cada intervalo. Para o primeiro, queremos x < - 1 . x = - 2 satisfaz, então substituímos:

x + 1 ⟹ - 2 + 1 = - 1 < 0

x - 3 ⟹ - 2 - 3 = - 5 < 0

Assim, teremos:

Para - 1 < x < 3 agora, temos x = 0 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 0 + 1 = 1 > 0

x - 3 ⟹ 0 - 3 = - 3 < 0

Assim:

Quase lá, falta x > 3 . Para esse intervalo, temos x = 4 que satisfaz. Então:

x + 1 ⟹ 4 + 1 = 5 > 0

x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

Assim:

Passo 5

Com os sinais determinados, vamos criar uma nova linha com o sinal equivalente que será o sinal da nossa inequação. Para determinar o sinal equivalente, usamos a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

Assim, vamos ter:

Passo 6

Então, para nossa inequação equivalente:

x - 3 x + 1 ≥ 0

queremos ≥ 0 , então nos interessam os intervalos em que temos o sinal de ( + ) . Isso corresponde aos intervalos x < - 1 e x > 3 . Além disso, queremos maior ou igual, então ajustamos para:

S = x ∈ R : x < - 1     o u   x ≥ 3

Não consideramos para x < - 1 pois x = - 1 não está no nosso domínio (atenção para isso!).

Ou então:

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3 , + ∞

Resposta

D = x ∈ R : x ≠ - 1

S = x ∈ R : x ∈ - ∞ , - 1 ∪ 3 , + ∞

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