Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 12

Resolva a inequação:

x 2 + x < x 3 + 1

Passo 1

Opa, nessa apareceu um x ao cubo, mas não se assuste!

Vamos jogar tudo pra esquerda:

x 2 + x - x 3 - 1 < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos dar uma melhorada nisso.... Repare que

x - x 3 = x 1 - x 2 = - x x 2 - 1

Assim:

x 2 + x - x 3 - 1 < 0

⇒ x 2 - 1 - x x 2 - 1 < 0

Passo 3

Botando o x 2 - 1 em evidência:

x 2 - 1 1 - x < 0

Passo 4

Então basta ver quando x 2 - 1   e 1 - x têm sinais opostos!

x 2 - 1 < 0     p a r a   x ∈ - 1 ,   1 > 0     p a r a   x ∈ - ∞ ,   - 1 ∪ 1 ,   ∞

1 - x < 0     p a r a   x > 1 > 0     p a r a   x < 1

Passo 5

Ou seja, temos

  • x 2 - 1 < 0 e 1 - x > 0 para x ∈ - 1 ,   1
  • x 2 - 1 > 0   e 1 - x < 0 para x ∈ 1 ,   ∞

Juntando os dois:

x 2 - 1 1 - x < 0 ⇔ x ∈ - 1,1 ∪ 1 , ∞

Resposta

- 1,1 ∪ 1 , ∞

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