Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

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Enunciado

Encontrar todos os números reais x tais que:

x 2 - x + 10 < 16

Passo 1

Temos aqui uma inequação de segundo grau. Para resolvê-la, vamos determinar as raízes da equação correspondente:

x 2 - x + 10 < 16

x 2 - x - 6 < 0

Então temos a equação correspondente: x 2 - x - 6 = 0

Que determinaremos as raízes. Essa equação é da forma: a x 2 + b x + c = 0

Com:

a = 1 b = - 1 c = - 6

E, por Bhaskara, temos: x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Substituindo os valores: x = 1 ± 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 6 2 ⋅ 1 = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2

Para cada sinal, teremos:

x 1 = 1 + 5 2 = 3

x 2 = 1 - 5 2 = - 2

Passo 2

Temos que, de forma geral:

a x 2 + b x + c = x - x 1 x - x 2

Em que x 1 , x 2 são as raízes da equação. Assim, teremos, voltando para inequação isolada:

x 2 - x - 6 < 0

x - 3 x + 2 < 0

Passo 3

Separado em termos, vamos montar a tabela, colocando cada um dos termos na primeira coluna e os intervalos na primeira linha. Esses intervalos são justamente os intervalos entre as raízes.

Com raízes x 1 = 3 e x 2 = - 2 , teremos: x < - 2

- 2 < x < 3

x > 3

Ficando:

Agora, testamos o sinal de cada termo entre os intervalos. Para começar, queremos x < - 2 . x = - 3 satisfaz essa condição, então testamos com ele:

x - 3 ⟹ - 3 - 3 = - 6 < 0

x + 2 ⟹ - 3 + 2 < 0

Assim, teremos:

- 2 < x < 3 . x = 0 satisfaz, então temos: x - 3 ⟹ 0 - 3 = - 3 < 0

x + 2 ⟹ 0 + 2 = 2 > 0

Então teremos:

Para terminar, x > 3 . x = 4 satisfaz, então temos: x - 3 ⟹ 4 - 3 = 1 > 0

x + 2 ⟹ 4 + 2 = 6 > 0

Assim:

Passo 4

Agora, criamos uma linha com o sinal equivalente, que será o sinal da expressão da nossa inequação. Para encontrar o sinal equivalente, só usar a regrinha dos sinais:

- - ⟹ +

- + ⟹ -

+ - ⟹ -

+ + ⟹ +

Assim, vamos ter:

Como nossa inequação equivalente é:

x - 3 x + 2 < 0

Queremos a parte menor, então pegamos o intervalo com o sinal de ( - ) :

- 2 < x < 3

Ficando:

S = x ∈ R : - 2 < x < 3

Ou, se preferir:

S = x ∈ - 2,3

Resposta

S = x ∈ - 2,3

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