Exercícios Resolvidos de Inequações produto-quociente

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 8

Resolva a inequação:

2 x - 1 2 < 16

Passo 1

Beleza, primeiramente vamos distribuir o termo elevado ao quadrado:

2 x - 1 2 = 4 x 2 - 2 x + 1

Substituindo, temos:

2 x - 1 2 < 16 4 x 2 - 4 x + 1 < 16

Jogando tudo para o mesmo lado sem pudor algum:

4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Opa, temos uma inequação de segundo grau limpinha agora!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 4 ( 4 ) ( - 15 ) 2 4 = 4 ± 16 + 16 15 8 = 4 ± 16 8 = 1 ± 4 2

Logo:

x 1 = 5 2 x 2 = - 3 2

Passo 3

A partir disso, dividimos o domínio em intervalos limitados pelas raízes e testamos o sinal, que só muda quando passa na raiz, ou seja, podemos escolher qualquer valor nos intervalos gerados que garantiremos que o sinal não muda naquele intervalo. Eles serão:

- , - 3 2 - 3 2 , 5 2 5 2 ,  

Para o primeiro intervalo, podemos escolher x = - 3 :

4 - 3 2 - 4 - 3 - 15 = 33 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Para o segundo, podemos escolher o x = 0 :

4 0 2 - 4 0 - 15 = - 15 < 0

Logo, ela é negativa nesse intervalo.

Para o terceiro, podemos escolher x = 5 :

4 5 2 - 4 5 - 15 = 65 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Voltando a inequação do problema, temos:

2 x - 1 2 < 16 4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Queremos, portanto, o intervalo com valor negativo da expressão, ou seja:

- 3 2 , 5 2

A solução será, portanto:

x - 3 2 , 5 2

Resposta

x - 3 2 , 5 2

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