Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª Ed., São Paulo:McGrawHill, 1987, pp.127

Duas retas r 1 e r 2 coplanares e não paralelas são concorrentes. Consideremos as retas:

r 1 : y = - 3 x + 2 z = 3 x - 1 e r 2 : x = - t y = 1 + 2 t z = - 2 t

Determinemos seu ponto de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos achar o ponto de interseção!

O ponto de interseção entre duas retas concorrentes é o ÚNICO ponto em que elas se cruzam, ou seja, é o único ponto em que suas coordenadas são iguais! Então, para achar esse ponto, basta igualar as coordenadas das duas retas!

Como em r 2 aparece a incógnita t e, em r 1 , o t não aparece, vamos começar eliminando-o da equação de r 2 .

Da equação da coordenada x de r 2 temos que x = - t → t = - x .

Substituindo isso nas equações para as coordenadas y e z , temos:

r 2 : y = 1 + 2 × ( - x ) z = - 2 × ( - x ) →   y = 1 - 2 x z = 2 x

Agora é só igualar as equações das coordenadas de cada reta!

Igualando as equações da coordenada y :

- 3 x + 2 = 1 - 2 x

2 - 1 = - 2 x + 3 x

x = 1

Substituindo x = 1 na equação de qualquer uma das retas (vou substituir em r 1 , mas tanto faz):

y = - 3 × 1 + 2

y = - 1

z = 3 × 1 - 1

z = 2

Com isso o ponto de interseção é:

P i = 1 , - 1 , 2

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Resposta

P i = 1 , - 1,2

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