Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

A altura do tetraedro de vértices A = 0,0 , 0 , B = 3,2 , 0 , C = 1,2 , 1 , D = ( 1,3 , 4 ) relativa à face B C D é

a) 14 91

b) 1 1 4 1

c) 1 6 91

d) 4 1 1

e) 9 4 1

f) 6 1 1

Passo 1

E aí cara, tudo belezinha?

Vamos lá matar esse problema! Temos esse tetraedro:

Onde A = 0,0 , 0 , B = 3,2 , 0 , C = 1,2 , 1 , D = ( 1,3 , 4 )

E aí queremos encontrar a altura h em relação à base B C D

Galera, a altura de um tetraedro em relação à base B C D vai ser

h = A B , A C , A D B C ∧ B D

Onde A B , A C , A D é o produto misto A B ∙ A C ∧ A D

Então vamos lá fazer esse cálculo 😉

Passo 2

A altura que queremos encontrar é calculada assim

h = A B , A C , A D B C ∧ B D

Mas... quem são esses vetores A B , A C , A D , B C , B D ?? Não temos eles!!

Não mesmo! Mas temos os pontos A = 0,0 , 0 , B = 3,2 , 0 , C = 1,2 , 1 , D = ( 1,3 , 4 )

Então podemos encontrar os vetores:

A B = B - A = 3,2 , 0

A C = C - A = 1,2 , 1

A D = D - A = 1,3 , 4

B C = C - B = - 2,0 , 1

B D = D - B = - 2,1 , 4

Showw, vetores check

Passo 3

Vamos começar encontrando A B , A C , A D . Sabemos que A B = 3,2 , 0 ,   A C = 1,2 , 1 ,   A D = ( 1,3 , 4 )

Esse produto misto é dado pelo determinante:

A B , A C , A D = 3 2 0 1 2 1 1 3 4

Calculando o determinante:

A B , A C , A D = 3 2 0 1 2 1 1 3 4 3 2 1 2 1 3 = 24 + 2 - 9 - 8 = 9

Showw! Então já temos o nosso numerador. Ele vale 9 .

Passo 4

Agora vamos encontrar o denominador B C ∧ B D . Sabemos que B C = ( - 2,0 , 1 ) e B D = - 2,1 , 4 .

Esse produto vetorial é dado pelo determinante

B C ∧ B D = i ^ j ^ k ^ - 2 0 1 - 2 1 4

B C ∧ B D = i ^ j ^ k ^ - 2 0 1 - 2 1 4 i ^ j ^ - 2 0 - 2 1 = - 2 j ^ - 2 k ^ - i ^ + 8 j ^

Então

B C ∧ B D = - i ^ + 6 j ^ - 2 k ^ = - 1,6 , - 2

Showww! Esse é o vetor. O módulo dele vai ser

B C ∧ B D = - 1 2 + 6 2 + - 2 2 = 1 + 36 + 4 = 41

Ebaaa! Então já temos os valores para encontrar a altura h

Passo 5

A altura do tetraedro vai ser

h = A B , A C , A D B C ∧ B D

Substituindo os valores:

h = 9 41

Então, a alternativa correta é a letra E 😊

Resposta

e) 9 41

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