Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Elaboração própria

Demonstre que geometricamente o produto misto ( u → ∙ ( v →   ×   w → )   é igual em módulo ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u → , v → e   w → .

Passo 1

Ah não, demonstração, não!!!

Relaxa aí!!! Vamos com calma!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A figura a seguir vai nos ajudar bastante!!

Sabemos das nossas aulas de geometria do ensino médio que o volume de uma paralelepípedo é:

V = á r e a   d a   b a s e x   ( a l t u r a )

Na figura acima nossa base é formada pelos vetores v →   e   w → , então a área da nossa base como vimos em produto vetorialé igual a:

á r e a   d a   b a s e = | v → × w → |

E quanto vale a altura? Bem, a altura é:

a l t u r a = h = u → | cos ⁡ θ |

Deve ser o módulo do cosseno, pois não existe comprimento negativo, e o cosseno pode ser negativo.

Então, o volume do paralelepípedo fica:

V = | v → × w → | u → | cos ⁡ θ |

Passo 3

Bem, e o que isso prova? Ainda nada hehe, porque temos que provar agora que módulo do produto misto vale isso ;).

Se dissermos que v → × w → = a →

Pelo produto misto teremos:

V = | u → ∙ v →   ×   w → | = | u → ∙ a → |

Pela propriedade do produto escalar temos:

V = u → ∙ a → = u → a → | cos ⁡ θ |

Quem é o módulo de a → ?

a → = | v → × w → |

Então,

V = u → ∙ a → = u → a → | cos ⁡ θ | = u → | v → × w → | | cos ⁡ θ |

Portanto, partindo do volume generalizado e partindo do módulo do produto misto conseguimos mostrar que realmente o módulo do produto misto corresponde aovolume do paralelepípedo.

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