Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. pp. 81-23.

Verificar se os pontos A 1 ,   2 ,   4 ,   B - 1 ,   0 ,   - 2 ,   C 0 ,   2 ,   2   e   D ( - 2 ,   1 ,   - 3 ) estão no mesmo plano.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se os PONTOS estão no mesmo plano. Cuidado, agora, teremos que achar os vetores, pois nos foi dado os pontos ,e não os vetores como no exercício anterior.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já que temos os pontos devemos determinar vetores com esses pontos para verificar se são coplanares.

Mas, quais vetores escolheremos??

Devemos escolher os vetores de forma que os três possam, talvez, determinar um paralelepípedo. Pois, então, poderemos utilizar a sacada de que se o volume do paralelepípedo for ZERO, então são coplanares.

Bem, há várias possibilidades de se escolher os vetores que poderemos utilizar para serem os vetores diretores do nosso paralelepípedo. Uma forma, talvez, mais fácil de se escolher seja escolher um ponto de origem e fazer todos os vetores partindo dele.

Bom, porque eu quero vou escolher como origem o ponto A . Partindo desse ponto conseguimos formar 3 vetores: A B → ,   A C → e A D → .

Passo 3

Agora é calcular os vetores e o produto misto.

A B → = B - A = - 1 ,   0 ,   - 2 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 2 ,   - 2 ,   - 6 )

A C → = C - A = 0 ,   2 ,   2 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 1 ,   0 ,   - 2 )

A D → = D - A = - 2 ,   1 ,   - 3 - 1 ,   2 ,   4 = ( - 3 ,   - 1 ,   - 7 )

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

Portanto, os pontos pertencem ao mesmo plano.

Resposta

O s   p o n t o s   p e r t e n c e m   a o   m e s m o   p l a n o .  

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