Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Unicamp, Lista 2 – Produto Escalar, Vetorial e Misto, 1º semestre de 2014, 1.

Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u ,   v   e   w nos seguintes casos:

  1. Dados os pontos A = 1 ,   3 ,   4 ,   B 3 ,   5 ,   3 ,   C = 2 ,   1 ,   6     e   D = ( 2 ,   2 ,   5 ) tome u → = A B → ,   v → = A C →     e   w → = A D → .
  2. u → = i → + 3 j → + 2 k → ,     v → = 2 i → + j → - k →     e   w → = i → - 2 j → + k → .

Passo 1

Esse problema nos pede para determinar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores que são dados. O que muda o item a do item b é a forma como os vetores são dados. Mas, a resolução é a mesma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela teoria sabemos que o módulo do produto misto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores do produto. Então, basta sabermos os vetores e fazer o produto misto entre eles.

  1. Foi nos dados 4 pontos: A ,   B , C   e   D . E determinados 3 vetores A B → ,   A C →   e   A D → . Vamos determinar então esses vetores, por meio dos pontos:

A B → = B - A = 3 ,   5 ,   3 - 1 ,   3 ,   4 = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

A C → = C - A = 2 ,   1 ,   6 - 1 ,   3 ,   4 = ( 1 ,   - 2 ,   2 )

A D → = D - A = 2 ,   2 ,   5 - 1 ,   3 ,   4 = ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é 1.

Passo 3

  1. Foi nos dados 3 vetores na base cartesiana, ou seja, os versores i → ,   j →   e   k → que indicam respectivamente as direções: x ,   y   e   z . Assim temos os vetores:

u → = i → + 3 j → + 2 k → → u → = ( 1 ,   3 ,   2 )

v → = 2 i → + j → - k → → v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

w → = i → - 2 j → + k → → w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 )

Calculando o produto misto:

Portanto, o volume do paralelepípedo é 20 , já que é o módulo do produto misto.

Resposta

  1. V = 1   u . v
  2. V = 20   u . v

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