Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(a) Determine se existe um plano que contém os pontos A, B, C e D.

Passo 1

(a) Vamos começar definindo os vetores:

A B → = B - A = 1,2 , 3 - 1,0 , 1 = 0,2 , 2

A C → = C - A = 2,1 , 1 - 1,0 , 1 = 1,1 , 0

A D → = D - A = 1,3 , 2 - 1,0 , 1 = 0,3 , 1

Se existir um único plano que contém os pontos A, B, C e D, então os vetores A B , → A C →   e A D → serão coplanares.

Isso significa que o produto misto entre esses 3 caras será 0.

Vamos ver se isso vai ser verdade calculando o produto misto:

E claramente 4 ≠ 0 .

Então esses 3 vetores não são coplanares e não existe um único plano que contém os pontos A, B, C e D.

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Resposta

(a) Não existe um único plano que contém os pontos A, B, C e D.

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