Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Sejam v 1 , v 2 , v 3 três vetores mutuamente ortogonais de norma 1. Considere as seguintes afirmações:

1. D = v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 é uma base positiva se v 3 = v 1 ∧ v 2

2. Apenas uma das bases B = v 1 , v 2 , v 3 e C = v 2 , v 3 , v 1 é positiva

3. O volume do paralelepípedo definido pelos vetores v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 é igual a 2

Então

a) Apenas 1 e 2 são verdadeiras

b) Apenas 3 é verdadeira

c) 1, 2 e 3 são verdadeiras

d) Apenas 2 é verdadeira

e) Apenas 1 é verdadeira

f) 1, 2 e 3 são falsas

g) Apenas 2 e 3 são verdadeiras

h) Apenas 1 e 3 são verdadeiras

Passo 1

E aíí pessoal, tudo beleza? Vamos lá analisar o que esse probleminha ta pedindo

Ele deu os vetores v 1 , v 2 e v 3 , e disse que eles são ortogonais entre si e têm tamanho igual a 1

Opa! Então de cara já podemos perceber que esses 3 vetores são candidatos a formarem uma base ortonormal né? Hahahah

Mas continuando, o enunciado nos dá 3 afirmações, e pede para vermos quais delas são verdadeiras e quais são falsas

Então, baseado nos 3 vetores, vamos analisar cada uma das afirmações e ver quais procedem, beleza? Vamos lá!

Passo 2

A primeira afirmação diz que “ D = v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 é uma base positiva se v 3 = v 1 ∧ v 2

Ou seja, ele ta dizendo que se v 3 for o produto vetorial de v 1 e v 2 , a base D é positiva

Assumindo v 1 = 1,0 , 0 , v 2 = ( 0,1 , 0 ) e v 3 = 0,0 , 1 , continuamos cumprindo o que o enunciado disse. Os 3 vetores são ortogonais e possuem módulo igual a 1. Além disso, teremos que v 3 = v 1 ∧ v 2 ”.

Dessa forma, temos

v 1 + v 2 = 1,1 , 0

v 2 + v 3 = 0,1 , 1

v 1 + v 3 = 1,0 , 1

Para vermos se essa base é positiva, vamos colocar esses vetores nas linhas de uma matriz e calcular o determinante dela. Se esse determinante for positivo, a afirmação é verdadeira

1 1 0 0 1 1 1 0 1

Calculando o determinante:

1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 = 1 + 1 = 2

Opa, o determinante deu positivo!! Então, a base D = v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 realmente é positiva 😊 essa primeira afirmação é verdadeira

Passo 3

A segunda afirmação diz que “Apenas uma das bases B = v 1 , v 2 , v 3 e C = v 2 , v 3 , v 1 é positiva”

Para verificarmos essa afirmação, vamos encontrar a matriz de mudança de base M C , B e calcular o seu determinante. Se o determinante for positivo, as duas bases são positivas. Caso contrário, a afirmação é verdadeira.

Para escrevermos a matriz   M C , B , vamos encontrar os vetores de B na base C . Por exemplo, o primeiro vetor é v 1 . Mas na matriz C , ele está em último. Então

v 1 C = 0,0 , 1

Analogamente, temos

v 2 C = 1,0 , 0

v 3 C = 0,1 , 0

Então, a matriz M C , B é

M C , B = 0 0 1 1 0 0 0 1 0

Calculando o determinante dela:

0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 = 1

Como o determinante deu positivo, as duas bases possuem a mesma orientação: são as duas positivas. Logo, essa segunda afirmação é falsa 😉

Passo 4

Por fim, a terceira afirmação diz que “O volume do paralelepípedo definido pelos vetores v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 é igual a 2

Aqui vamos ter que lembrar que o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto dos vetores que determinam:

V p = v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , v 1 + v 3 = v 1 + v 2 ∙ v 2 + v 3 × v 1 + v 3

Fazendo a distributiva, podemos dividir em vários produtinhos diferentes:

V p = v 1 , v 2 , v 1 + v 1 , v 2 , v 3 + v 1 , v 3 , v 1 + v 1 , v 3 , v 3 + v 2 , v 2 , v 1 + v 2 , v 2 , v 3 + v 2 , v 3 , v 1 + v 2 , v 3 , v 3

Em um produto misto, se tivermos um vetor repetido, ele vai dar 0 né?? Então já podemos cancelar vários termos :P

V p = 0 + v 1 , v 2 , v 3 + 0 + 0 + 0 + 0 + v 2 , v 3 , v 1 + 0

V p = v 1 , v 2 , v 3 + v 2 , v 3 , v 1

Mas v 2 , v 3 , v 1 = v 1 , v 2 , v 3 , então

V p = 2 . v 1 , v 2 , v 3

E como os 3 vetores são ortonormais, temos v 1 , v 2 , v 3 = 1 , então

V p = 2 ∙ 1 = 2

Portanto, a afirmação é verdadeira 😊

Como apenas a afirmação 2 é falsa, a alternativa correta é a letra H 😉

Resposta

h) Apenas 1 e 3 são verdadeiras

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