Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se T : R² → R² é uma transformação linear tal que { T ( 1 ,   0 ) ,   T ( 0 ,   1 ) } é base ortonormal de R² , então T é ortogonalmente diagonalizável.

(b) Se u, v e w são vetores não nulos e tais que u   ·   v   =   u   ·   w , então v   =   w .

(c) Se u, v e w são vetores não nulos de R³ e tais que u   ×   v   =   u   ×   w , então v   =   w .

(d) Se u e v são vetores do R³ ortogonais e de mesmo módulo, então ∥   u   ×   v   ∥ =   u   ·   u .  

(e) Se u e v são vetores não nulos e com a mesma direção, então ∥   u   +   v   ∥ ²   = ∥   u   ∥ ²   +   ∥   v   ∥ ²

Passo 1

Para iniciar essa ideia, vamos pensar na seguinte transformação:

T x , y = - y , x

Se pensarmos na seguinte transformação:

T 1,0 ,   T 0,1 = 0,1 ,   - 1,0

Essa vai ser a base ortonormal do R ² , pois os se fizermos o produto interno teremos:

0,1 .   - 1,0 = 0  

Além disso o módulo dos dois vetores é 1.

Vamos verificar se ele é diagonalizável, para isso primeiro acharemos os autovalores, para isso teremos:

T - λ I = - λ 1 - 1 - λ = λ ² + 1 = 0

Mas essa equação não tem solução real, então T não é diagonalizável!

T não é diagonalizável, logo também não será ortogonalmente diagonalizável.

Portanto, FALSA.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos a letra b, precisamos pensar em um contra exemplo ...

Vamos supor vetores para u, v e w. Pegaremos os seguintes vetores:

u = 1,0 ,         v = 0,1 ,           w = ( 0 , - 1 )

Para esses valores essa afirmativa será falsa, observe só:

u . v = 0 = u . w

MAAAAAAS, vemos claramente que v ≠ w

Então, nossa segunda afirmativa é FALSA!

Passo 3

Essa letra c é muito parecida com a b...

Vamos novamente pensar num contraexemplo, tomemos por exemplo:

u = 1,0 , 0 ,         v = 50,0 , 1 ,     w = 0,1 , 0

Para esses valores essa afirmativa será falsa, observe só:

u × v = ( 0 , 0,1 ) = u × w

Porém, no entanto, todavia....

Vemos claramente que v ≠ w !!

Então, nossa terceira afirmativa é FALSA!

Passo 4

Partiu letra d agora, estamos quase acabando ...

Vamos pensar no que diz o enunciado, se temos os vetores u e v ortogonais e com o mesmo módulo, o paralelogramo formado por esses dois vetores, tem uma área:

u v = u 2 = u . u

No entanto, sabemos que a área do mesmo é dada pelo módulo de u × v , que acabamos de ver que é igual a u . u .

Portanto, a nossa afirmativa é VERDADEIRA!!

Passo 5

Vamos para nossa última letra!

Observe os vetores na figura abaixo...

Concorda comigo que eles têm a mesma direção?

Estamos dizendo que u = - 1,0   e   v = 1,0

Se fizermos ∥   u   +   v   ∥ 2 , teremos:

∥   - 1 + 1 ,   0 + 0 ∥ 2 =   ∥ 0,0 ∥ 2 = 0

Ora ora, se fizermos o módulo de u 2 + v 2 , vemos que o tamanho presente no gráfico corresponde a 2, ou seja:

u 2 + v 2 = 2

OU SEJAAAA...

FALSO, MUITO FALSO! Rs

Resposta

a)FALSO

b)FALSO

c)FALSO

d)VERDADEIRO

e)FALSO

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