Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. pp. 84-24.

Dados os vetores u → = x ,   5,0 ,   v → = 3 ,   - 2 ,   1   e   w → = 1 ,   1 ,   - 1 , calcular os valores possíveis de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u → ,   v →   e   w → seja 24 unidades de volume.

Passo 1

Nos é dado três vetores: u → ,   v →   e   w → . O vetor u → possui sua coordenada x como incógnita. O problema quer saber quais os valores de x para que o paralelepípedo formado pelos três vetores seja 24 unidades de volume.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, sabemos que o produto misto de três vetores corresponde em MÓDULO ao valor do volume do paralelepípedo, certo?

Pq que eu coloquei a palavra MÓDULO em destaque?

Porque é esse detalhe que faz toda a diferença na resolução, pois o problema quer os possíveis valores de x para que o volume seja de 24 unidades. Isso quer dizer que, como o módulo do produto misto indica o volume, então, o produto misto pode ser igual a 24 ou igual a -24.

Sacou ?

Passo 3

Então, teremos que calcular o produto misto para o módulo. Um para 24 e outro para -24. Então, bora calcular!!!

Assim,

u → ,   v → ,   w → = x 5 0 3 - 2 1 1 1 - 1

Para   24 ,

2 x + 5 - x + 15 = 24

x = 4

Para - 24 ,

2 x + 5 - x + 15 = - 24

x = - 44

Viu, nem precisou de tanta conta, só um detalhe, já que o determinante não se altera, só fizemos a última partezinha diferente hehe

Resposta

x = 4   e   x = - 44

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