Exercícios Resolvidos de Produto Misto

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P1 – Questão 4

Considere três vetores u → , v → e w → tais que u → ,   v → ,   w → = 10 . Calcule [ 3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → ] .

Passo 1

Aqui a gente vai usar aquela propriedade que deixa a gente desmembrar o produto misto em somas de produtos mistos, a trilinearidade e a alternância! Primeiro vamos abrir em relação ao segundo termo:

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = 3 w → ,   v → ,   u → - w → + [ 3 w → ,   2 u → ,   u → - w → ]

Agora, em cada um deles vamos mexer no terceiro termo:

3 w → ,   v → ,   u → - w → = 3 w → ,   v → ,   u → + 3 w → ,   v → ,   - w →

3 w → ,   2 u → ,   u → - w → = 3 w → ,   2 u → ,   u → + [ 3 w → ,   2 u → ,   - w → ]

Então, voltando ali em cima:

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = 3 w → ,   v → ,   u → + 3 w → ,   v → ,   - w → + 3 w → ,   2 u → ,   u → + [ 3 w → ,   2 u → ,   - w → ]

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Lembra dessa fórmula aqui?

a u → ,   b v → ,   c w → = a b c u → ,   v → ,   w →

Vamos usar agora em cada um dos termos!

3 w → ,   v → ,   u → = 3 w → ,   v → ,   u →

3 w → ,   v → ,   - w → = - 3 w → ,   v → ,   w →

3 w → ,   2 u → ,   u → = 6 w ,   u → ,   u →

3 w → ,   2 u → ,   - w → = - 6 w ,   u → ,   w →

Reparou que os três de baixo tem termos repetidos? Quando o produto misto tem vetores repetidos, ele vale 0 . Sobrou então pra gente só o primeiro termo.

Passo 3

Daí,

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = 3 w → ,   v → ,   u →

Falta a gente trocar w → e u → . A cada troca de posição que fazemos, o produto misto inverte o sinal! Então vai ficar:

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = - 3 u → ,   v → ,   w →

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = - 3 10

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = - 30

Acabou!

Resposta

3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → = - 30

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas