Exercícios Resolvidos de Produto Misto

UFPE – Geometria Analítica – 2019.1 – P1 – Questão 3

Em uma base ortonormal são dados os vetores A B → = ( 2 ,   1 ,   5 ) , A C → = ( 3 ,   - 1 ,   2 ) e A D → = - 1 ,   2 ,   1 .

  1. Mostre que A , B , C e D são vértices de um tetraedro.
  2. Calcule a área de face B C D .
  3. Calcule o volume desse tetraedro.

Passo 1

  1. Isso aí é moleza! Se eles são vértices de um tetraedro, eles não são coplanares, certo? E como a gente faz eles não serem coplanares? É só o produto misto dos vetores não ser igual a zero! Então vamos ver aqui se é ou não é zero.
  2. A B → ,   A C → ,   A D → = 2 1 5 3 - 1 2 - 1 2 1

    A B → ,   A C → ,   A D → = 10

    Ou seja, não são coplanares, e por isso, são vértices de um tetraedro!

    Passo 2

  3. A face B C D é formada pelos vetores B C → , B D → e C D → , certo? Mas se liga: a área dessa face triangular é igual à metade da área do pararelogramo formado pelos B C → e B D → ! Sacou? Então vamos achar esses dois vetores.
  4. Primeiro calculamos B C → :

    B C → = B A → + A C → = - A B → + A C →

    B C → = - 2 ,   - 1 ,   - 5 + 3 ,   - 1 ,   2 = ( 1 ,   - 2 ,   - 3 )

    Agora, calculamos B D → :

    B D → = B A → + A D → = - A B → + A D →

    B D → = - 2 ,   - 1 ,   - 5 + - 1 ,   2 ,   1 = - 3 ,   1 ,   - 4

    A área da face vai ser:

    S B C D = 1 2 B C → × B D → = 1 2 i → j → k → 1 - 2 - 3 - 3 1 - 4

    Desenvolvendo...

    S B C D = 1 2 11 ,   13 ,   - 5

    S B C D = 1 2 121 + 169 + 25

    E aí a gente encontra:

    S B C D = 315 2

    Passo 3

  5. O volume do tetraedro A B C D a gente já sabe como calcula, né? É igual a 1 6 do módulo do produto misto dos vetores que compõem ele!

V t e t r a e d r o = 1 6 A B → ,   A C → ,   A D →

Esse produto misto a gente encontrou na letra a!

V t e t r a e d r o = 10 6

Simplificando...

V t e t r a e d r o = 5 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Resposta

  1. São vértices de um tetraedro.
  2. S B C D = 315 2
  3. V t e t r a e d r o = 5 3

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