Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Seja B = ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal e, nesta base, considere os vetores u → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , v → = ( 0 ,   1 ,   2 ) , w 1 → = ( - 1 ,   0 ,   0 ) e w 2 → = 0 ,   1 ,   1 . Determine o vetor x → = ( a ,   b ,   c ) sabendo que u → ∧ x → = v → e x → ,   w 1 → ,   w 2 → = 6 .

Passo 1

Temos duas informações sobre o nosso vetor x → = ( a ,   b ,   c ) :

  • O seu produto vetorial com u → resulta no vetor v →
  • Seu produto misto com w 1 → e w 2 → resulta em 6

Vamos montar primeiro o determinante que define o produto vetorial u → ∧ x → :

i → j → k → 1 2 - 1 a b c = ( 0 ,   1 ,   2 )

Resolvendo esse determinante e escrevendo o vetor v → em termos de i → , j → e k → , temos

2 c + b i → - c + a j → + b - 2 a k → = 0 i → + 1 j → + 2 k →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, então igualando o coeficiente de cada letrinha, a gente tem o sistema

2 c + b = 0 - c + a = 1 b - 2 a = 2

Da primeira linha temos que b = - 2 c , da segunda linha temos a = - c - 1 , então nosso vetor x → pode ser escrito como x → = a ,   b ,   c = ( - c - 1 ,   - 2 c ,   c ) .

Passo 3

Agora vamos escrever o determinante que define o nosso produto misto:

x → ,   w 1 → ,   w 2 → = - c - 1 - 2 c c - 1 0 0 0 1 1 = 6

Resolvendo esse determinante:

- 3 c = 6

c = - 2

Entãoo, o vetor x → é

x → = - c - 1 ,   - 2 c ,   c = ( 1 ,   4 ,   - 2 )

Resposta

x → = ( 1 ,   4 ,   - 2 )

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