Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

O volume do tetraedro de vértices A , B , C , D , em que A = ( 0,0 , 0 ) , B = 1,0 , 0 ,   C = ( 0,1 , 1 ) e D = 0,10,9 , é igual a

a) 1

b) 1 3

c) 1 6

d) 1 2

e) 1 6

Passo 1

E vaaaamos de tetraedro hahahaha bora lá galera

O exercício deu os 4 vértices de um tetraedro como esse:

Sendo: A = ( 0,0 , 0 ) , B = 1,0 , 0 ,   C = ( 0,1 , 1 ) e D = 0,10,9

E aí queremos encontrar o volume desse tetraedro.

Aqui vamos lembrar que se temos um tetraedro definido pelos vetores u , v , w , o volume dele vai ser

V t = 1 6 ∙ u , v , w

Onde u , v , w é o produto misto dos vetores

No nosso caso, o tetraedro é definido pelos vetores A B , A C , A D . Então é só encontrarmos esses vetores e aí aplicarmos a fórmula V t , fechou?

Passo 2

Sabemos que os vértices do tetraedro são A = ( 0,0 , 0 ) , B = 1,0 , 0 ,   C = ( 0,1 , 1 ) e D = 0,10,9 . Então podemos encontrar os vetores:

A B = B - A = 1,0 , 0

A C = C - A = 0,1 , 1

A D = D - A = 0,10,9

Hahahaha demos muita sorte. Como A = ( 0,0 , 0 ) , os vetores ficaram iguais os próprios pontos

Mas então vamos encontrar o volume do tetraedro fazendo

V t = 1 6 . ∙ A B , A C , A D

Onde A B , A C , A D é o produto misto, dado por esse determinante:

A B , A C , A D = 1 0 0 0 1 1 0 10 9

Calculando o determinante:

A B , A C , A D = 1 0 0 0 1 1 0 10 9 1 0 0 1 0 10 = 9 - 10 = - 1

Então A B , A C , A D = - 1 = 1

Passo 3

Portanto, o volume do tetraedro vai ser

V t = 1 6 ∙ 1 = 1 6

A alternativa correta é a letra E 😊

Resposta

e) 1 6

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