Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Sabendo que u → ,   v → ,   w → = 6 . Calcule u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → .

Passo 1

Primeiro, como temos somas/subtrações em todos os termos do produto misto que estamos procurando, vamos ter que utilizar aquela propriedade de desmembrar a soma, lembra? Então, primeiro, desmembrando o primeiro termo:

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = ( u → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → ) + ( v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → )

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Passo 2

Beleza, mas ainda temos subtrações no segundo e no terceiro termo :/ então agora vamos separar o segundo termo:

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = ( u → ,   2 v → ,   w → - u → + u → ,   - 3 w → ,   w → - u → ) + ( v → ,   2 v → ,   w → - u → + v → ,   - 3 w → ,   w → - u → )

Agora temos 4 produtos mistos, isso porque temos que desmembrar cada produto misto daquela expressão do passo 1 tendeu? E cada um se desmembra em 2 diferentes ;D

Agora, finalmente, vamos separar o terceiro termo:

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = ( u → ,   2 v → ,   w → + u → ,   2 v → ,   - u → ) + ( u → ,   - 3 w → ,   w → + u → ,   - 3 w → ,   - u → ) + ( v → ,   2 v → ,   w → + v → ,   2 v → ,   - u → ) + ( v → ,   - 3 w → ,   w → + v → ,   - 3 w → ,   - u → )

Passo 3

Agora que temos todas as somas desmembradas, vamos colocar todos os escalares pra fora dos produtos mistos:

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = 2 u → ,   v → ,   w → - 2 u → ,   v → ,   u → + - 3 u → ,   w → ,   w → + 3 u → ,   w → ,   u → + 2 v → ,   v → ,   w → - 2 v → ,   v → ,   u → + ( - 3 v → ,   w → ,   w → + 3 v → ,   w → ,   u → )

Vamos lembrar uma coisa, sempre que tem vetores repetidos em um produto misto, o resultado é 0, então vamos já tirar todos aqueles que vão dar 0 beleza?

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = 2 u → ,   v → ,   w → + 3 v → ,   w → ,   u →

Passo 4

Vimos que se não mudarmos a rotatividade dos vetores, o valor do produto misto continua sendo o mesmo, então v → ,   w → ,   u → = u → ,   v → ,   w → :

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = 2 u → ,   v → ,   w → + 3 u → ,   v → ,   w →

Substituindo pelo valor que o enunciado nos deu:

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = 2 . 6 + 3 . 6 = 30

Resposta

u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → = 2.6 + 3.6 = 3 0

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