Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Sejam A , B , C , D ∈ E 3 os vértices de um tetraedro cuja base é um triângulo A B C de área igual a 3 e cuja altura em relação a essa base tem comprimento igual a 4 . Se

u = A B + A D

v = A C

w = 3 A B + A D

Então o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u , v e w é igual a

a) 36

b) 48

c) 12

d) 24

e) 72

Passo 1

Oiii, tudo belezinha? Vamos lá analisar essa geometria aí

Temos esse tetraedro:

Onde o triângulo A B C da base tem área igual a 3 e a altura vale 4

E aí temos esses 3 vetores:

u = A B + A D

v = A C

w = 3 A B + A D

E queremos encontrar o volume do paralelepípedo definido por eles. Bom galera, o volume do paralelepípedo é dado pelo produto misto dos 3 vetores:

u , v , w = u ∙ v × w

E outra informação que vamos usar pra chegar nesse volume é lembrar que o volume do tetraedro definido pelos vetores A B , A C , A D vai ser

V t = 1 6 . A B , A C , A D

Então vamos lá!

Passo 2

O volume do paralelepípedo definido pelos vetores u , v , w vai ser

V p = u , v , w

Mas sabemos que u = A B + A D

v = A C

w = 3 A B + A D

Então:

V p = A B + A D , A C , 3 A B + A D

Podemos separar em diferentes produtos mistos fazendo a distributiva:

V p = A B , A C , 3 A B + A B , A C , A D + A D , A C , 3 A B + A D , A C , A D

E agora vamos lembrar do seguinte: se tivermos um produto misto com 3 vetores, mas um deles se repetir, então o produto misto vai ser 0, ok?

Então:

V p = 0 + A B , A C , A D + A D , A C , 3 A B + 0

V p = A B , A C , A D + A D , A C , 3 A B

Colocando a constante pra fora:

V p = A B , A C , A D + 3 A D , A C , A B

Mas A D , A C , A B = - A B , A C , A D , então:

V p = A B , A C , A D - 3 A B , A C , A D

V p = - 2 A B , A C , A D

E portanto, o volume do paralelepípedo vai ser dado por

V p = 2 . A B , A C , A D

Legal, mas quem é A B , A C , A D ???

Vamos usar o volume do tetraedro para encontrar isso!!

Passo 3

Relembramos lá no passo 1 que o volume do tetraedro definido pelos vetores A B , A C , A D vai ser

V t = 1 6 . A B , A C , A D

No caso, sabemos que o volume do tetraedro também pode ser escrito como V t = 1 3 . A b . h , onde A b é a área da base e h é a altura

Então:

V t = 1 3 ∙ 3 ∙ 4 = 4

Show, então substituindo na equação ali de cima:

4 = 1 6 . A B , A C , A D

A B , A C , A D = 6 ∙ 4

A B , A C , A D = 24

Uhuuu, então encontramos A B , A C , A D . Vamos substituir lá no volume do paralelepípedo

Passo 4

Lá do passo 2, temos que

V p = 2 . A B , A C , A D

E no passo 3, encontramos que A B , A C , A D = 24

Então, o volume do paralelepípedo vai ser

V p = 2 ∙ 24 = 48

E a alternativa correta é a letra B 😊

Resposta

b) 48

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