Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. pp. 95-69.

Para que valor de m   os pontos A m ,   1 ,   2 ,   B 2 ,   - 2 ,   - 3 ,   C 5 ,   - 1 ,   1   e   D 3 ,   - 2 ,   - 2 são coplanares?

Passo 1

Poxa vida!!! Mas, esse problema é o mesmo do anterior!!

Ele pode ser parecido, mas não é igual não. Sabe pq? Porque no anterior o problema nos dava os vetores bonitinhos e aqui não, é nos dado os pontos. Então, tome cuidado, produto misto é entre VETORES, e não entre pontos.

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Passo 2

Bora montar os vetores!!!

Como vimos num problema anterior se três vetores são coplanares, então o volume do paralelepípedo que seria formado por eles é ZERO. E por costume escolheremos os vetores partindo de uma mesma origem. Vou escolher o ponto A . Então, teremos os vetores:

A B → = B - A = 2 ,   - 2 ,   - 3 - m ,   1 ,   2 = ( 2 - m ,   - 3 ,   - 5 )

A C → = C - A = 5 ,   - 1 ,   1 - m ,   1 ,   2 = ( 5 - m ,   - 2 ,   - 1 )

A D → = D - A = 3 ,   - 2 ,   - 2 - m ,   1 ,   2 = ( 3 - m ,   - 3 ,   - 4 )

Passo 3

Agora sim, é resolver o produto misto entre os vetores para que os vetores sejam coplanares, ou seja, produto misto igual a ZEROOO.

A B → ,   A C → ,   A D → = 2 - m - 3 - 5 5 - m - 2 - 1 3 - m - 3 - 4 = 0

= 8 2 - m + 3 3 - m + 15 5 - m - 10 3 - m - 3 2 - m - 12 5 - m =

100 - 96 - 26 m + 25 m = 0

m = 4

Resposta

m = 4

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