Exercícios Resolvidos de Produto Misto

PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2017.2, Questão 4d, e

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se u ,   v e w são vetores de R 3   não nulos e ortogonais entre si, então u · ( v   ×   w   ) =   u v w .

(e) Se u ,   v e w são vetores de R 3 não nulos e ortogonais entre si, então u · v   ×   w = u v w .

Passo 1

(d) Se u ,   v e w são vetores de R 3   não nulos e ortogonais entre si, então u · ( v   ×   w   ) =   u v w .

Essa afirmativa é falsa! Vou usar os vetores ortogonais u = ( - 1,0 , 0 ) , v = ( 0,1 , 0 ) e w = ( 0,0 , 1 ) .

Calculando esse produto misto:

u · v   ×   w   = - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = - 1

Agora vamos calcular u v w   e comparar. Bom, não precisamos pensar muito para perceber que o módulo de todos os vetores que temos é 1, assim essa multiplicação vai dar 1!

E como o 1 ≠ - 1 , provamos que a alternativa é falsa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(e) Se u ,   v e w são vetores de R 3 não nulos e ortogonais entre si, então u · v   ×   w = u v w .

Opa, agora estamos falando de módulo, se fossemos aplicar essa alternativa no contraexemplo acima, ia nos mostrar que ela é verdadeira! Mas será que sempre vai ser?

Simm, pois o volume do paralelepípedo formado por 3 vetores ortogonais entre si é u v w ,   ao mesmo tempo que o módulo do produto misto desses 3 vetores também chega a essa informação. Assim, nossa afirmativa é verdadeira.

Resposta

(d)Falso

(e)Verdadeiro

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