Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. pp. 85-25.

Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A 1 ,   2 ,   1 ,   B 7 ,   4 ,   3 ,   C 4 ,   6 ,   2   e   D 3 ,   3 ,   3 .

Passo 1

Esse exercício possui um pequeno detalhe que faz uma mega diferença. Bom ele quer que determinemos o volume de um tetraedro, sendo que ele nos dá os vértices. A pegadinha, é que o módulo do produto misto é o volume de um paralelepípedo. Mas, e agora?? O que tem de diferente?

Calma!!! Nesse exercício precisamos de um detalhe que ao longo da vida de estudante acabamos esquecendo por falta de uso. E qual é esse detalhe??

O detalhe é que o volume de um tetraedro é 1 6 do volume de um paralelepípedo. Pronto, nossos problemas acabaram hehe.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, só precisamos definir os vetores, já que nos deram os pontos e calcular o produto misto e por fim, multiplicar por 1 6 ;).

Vamos lá determinar os vetores:

A B → = B - A = 7 ,   4 ,   3 - 1 ,   2 ,   1 = ( 6 ,   2 ,   2 )

A C → = C - A = 4,6 ,   2 - 1 ,   2 ,   1 = ( 3 ,   4 ,   1 )

A D → = D - A = 3 ,   3 ,   3 - 1 ,   2 ,   1 = ( 2 ,   1 ,   2 )

Agora que já temos os vetores, bora calcular o produto misto.

V = 24 6 = 4 u . v

Resposta

V = 4   u . v

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