Exercícios Resolvidos de Produto Misto

UFPE, Geometria Analítica, 1º EE - 2019.1, Questão 3

Em uma base ortonormal são dados os vetores Equation , Equation e Equation .

  1. Mostre que Equation , Equation , Equation e Equation são vértices de um tetraedro.
  2. Calcule a área de face Equation .
  3. Calcule o volume desse tetraedro.

Passo 1

  1. Isso aí é moleza! Se eles são vértices de um tetraedro, eles não são coplanares, certo? E como a gente faz eles não serem coplanares? É só o produto misto dos vetores não ser igual a zero! Então vamos ver aqui se é ou não é zero.
  2. Equation

    Equation

    Ou seja, não são coplanares, e por isso, são vértices de um tetraedro!

    Passo 2

  3. A face Equation é formada pelos vetores Equation , Equation e Equation , certo? Mas se liga: a área dessa face triangular é igual à metade da área do pararelogramo formado pelos Equation e Equation ! Sacou? Então vamos achar esses dois vetores.
  4. Primeiro calculamos Equation :

    Equation

    Equation

    Agora, calculamos Equation :

    Equation

    Equation

    A área da face vai ser:

    Equation

    Desenvolvendo...

    Equation

    Equation

    E aí a gente encontra:

    Equation

    Passo 3

  5. O volume do tetraedro Equation a gente já sabe como calcula, né? É igual a Equation do módulo do produto misto dos vetores que compõem ele!

Equation

Esse produto misto a gente encontrou na letra a!

Equation

Simplificando...

Equation

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Resposta

  1. São vértices de um tetraedro.
  2. Equation
  3. Equation

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