Exercícios Resolvidos de Produto Misto

Elaboração própria

Demonstre que geometricamente o produto misto Equation é igual em módulo ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores Equation e Equation .

Passo 1

Ah não, demonstração, não!!!

Relaxa aí!!! Vamos com calma!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A figura a seguir vai nos ajudar bastante!!

Sabemos das nossas aulas de geometria do ensino médio que o volume de uma paralelepípedo é:

Equation

Na figura acima nossa base é formada pelos vetores Equation , então a área da nossa base como vimos em produto vetorialé igual a:

Equation

E quanto vale a altura? Bem, a altura é:

Equation

Deve ser o módulo do cosseno, pois não existe comprimento negativo, e o cosseno pode ser negativo.

Então, o volume do paralelepípedo fica:

Equation

Passo 3

Bem, e o que isso prova? Ainda nada hehe, porque temos que provar agora que módulo do produto misto vale isso ;).

Se dissermos que Equation

Pelo produto misto teremos:

Equation

Pela propriedade do produto escalar temos:

Equation

Quem é o módulo de Equation ?

Equation

Então,

Equation

Portanto, partindo do volume generalizado e partindo do módulo do produto misto conseguimos mostrar que realmente o módulo do produto misto corresponde aovolume do paralelepípedo.

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