Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Enunciado

Para que valor de m   os pontos A m ,   1 ,   2 ,   B 2 ,   - 2 ,   - 3 ,   C 5 ,   - 1 ,   1   e   D 3 ,   - 2 ,   - 2 são coplanares?

Passo 1

Poxa vida!!! Mas, esse problema é o mesmo do anterior!!

Ele pode ser parecido, mas não é igual não. Sabe pq? Porque no anterior o problema nos dava os vetores bonitinhos e aqui não, é nos dado os pontos. Então, tome cuidado, produto misto é entre VETORES, e não entre pontos.

Passo 2

Bora montar os vetores!!!

Como vimos num problema anterior se três vetores são coplanares, então o volume do paralelepípedo que seria formado por eles é ZERO. E por costume escolheremos os vetores partindo de uma mesma origem. Vou escolher o ponto A . Então, teremos os vetores:

A B → = B - A = 2 ,   - 2 ,   - 3 - m ,   1 ,   2 = ( 2 - m ,   - 3 ,   - 5 )

A C → = C - A = 5 ,   - 1 ,   1 - m ,   1 ,   2 = ( 5 - m ,   - 2 ,   - 1 )

A D → = D - A = 3 ,   - 2 ,   - 2 - m ,   1 ,   2 = ( 3 - m ,   - 3 ,   - 4 )

Passo 3

Agora sim, é resolver o produto misto entre os vetores para que os vetores sejam coplanares, ou seja, produto misto igual a ZEROOO.

A B → ,   A C → ,   A D → = 2 - m - 3 - 5 5 - m - 2 - 1 3 - m - 3 - 4 = 0

= 8 2 - m + 3 3 - m + 15 5 - m - 10 3 - m - 3 2 - m - 12 5 - m =

100 - 96 - 26 m + 25 m = 0

m = 4

Resposta

m = 4

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74. Dados os pontos A 1 , - 2,3 ,B 2 , - 1 , - 4 , C 0,2 , 0 e D - 1 , m , 1 , determinar o valor de m para que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores A B ,
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcular o volume de tetraedro de base A B C e vértice P , sendo A 2,0 , 0 ,B 2,4 , 0 ,C 0,3 , 0 eP ( 2 , - 2,9 ) . Qual a altura relativa ao vértice P ?
Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, sendo A 1,1 , 0 ,B 6,4 , 1 ,C 2,5 , 0e D ( 0,3 , 3 ) .
Calcular a distância do ponto D ( 2,5 , 2 ) ao plano determinado pelos pontos A 3,0 , 0 ,B 0 , - 3,0eC ( 0,0 , 3 ) .