Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

Ver Teoria

Enunciado

Considere a matriz

A = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1

a Calcule det ⁡ A e, apartir deste, obtenha det ⁡ 3 A .

b Obtenha, se possível, A - 1 e det ⁡ A - 1 .

Passo 1

Como A é uma matriz triangular, seu determinante é dado pelo produto dos termos de sua diagonal principal:

det ⁡ A = 1 4 = 1

Quando multiplicamos A por 3 , estamos multiplicando cada uma de suas 4 linhas por 3 . Logo, o determinante será multiplicado por 3 quatro vezes, uma para cada linha! Então:

det ⁡ 3 A = 3 4 ∙ det ⁡ A = 81

Passo 2

Como det ⁡ A = 1 ≠ 0 , ela é invertível. Encontrando sua inversa:

1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 2 ← L 2 - 2 L 1 L 3 ← L 3 - 3 L 1 L 4 ← L 4 - 4 l 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 1 0 0 0 - 2 1 0 0 - 3 0 1 0 - 4 0 0 1 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 L 4 ← L 4 - 3 L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 2 1 0 2 - 3 0 1 → L 4 ← L 4 - 2 L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 1

Logo,

A - 1 = 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 1

Sabemos que det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A = 1

Resposta

a det ⁡ A = 1 ; det ⁡ 3 A = 81

b A - 1 = 1 0 0 0 - 2 1 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 1 ; det ⁡ A - 1 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão:
Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .a-Pela Regra de Cramer, calculando os determinantes a partir da definição;
Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .c-Pelo método da eliminação gaussiana
Usando a transposta mT, mostre que, se detm ≠ 0 então existe uma matriz p tal que pm=I3
Seja M: R 2 → R 2 a transformação linear definida por M ( x , y ) =( a 1 x + b 1 y ,a 2 x + b 2 y ) . Se a matrizes m = a 1 b 1 a 2 b 2 é não-nula e d e tm = 0 , a imagem de M é uma reta passando pela