Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada e considere o sistema linear A x = b . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:

I - Se o sistema tem solução, então D e t ( A ) é diferente de 0.

I I - Se o sistema não tem solução, então D e t ( A ) é igual a 0.

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d)   Ambas são falsas

Passo 1

Afirmativa I :

Isso não necessáriamente é verdade.

Para o sistema ter solução é preciso que b seja combinação das colunas de A .

Quando o D e t ( A ) é diferente de zero, sabemos que as linhas não são combinações umas das outras, como a matriz é quadrada, isso indica que vou ter o número de equações não redundantes (não C L   das outras) igual ao número de variáveis, nos dando uma solução única..

Nesse caso vamos ter uma base do nosso espaço nas linhas e portanto nas colunas, já que o número de linhas L I é igual ao de colunas L I e vamos conseguir escrever qualquer vetor b como C L deles, assim o sistema sempre vai ter solução!

Passo 2

Vamos ver um exemplo para ficar mais claro:

Imagina a matriz A = 2 3 - 1 0 1 2 - 1 0 3 e o vetor b = 5 1 - 1

Vamos calcular o determinante de A :

det ⁡ A = 2 3 - 1 0 1 2 - 1 0 3 = 6 - 6 - 1 = - 1 ≠ 0

Assim, sei que as linhas formam um conjunto L I . Como o número de linhas e colunas L I é sempre o mesmo e a matriz é quadrada, sei também que as colunas formam um conjunto L I :

α = 2,0 , - 1 , 3,1 , 0 , ( - 1,2 , 3 )

Olha o que temos aqui, um conjunto de 3 vetores L I   do R 3 . Ou seja, uma base do R 3 ‼ Com uma base do R 3   conseguimos escrever qualquer vetor do R 3   de apenas uma forma:

a 2,0 , - 1 + b 3,1 , 0 + c - 1,2 , 3 = ( 5,1 , - 1 )

Vemos que conseguimos achar uma solução única: a = 1 ,   b = 1 e c = 0 .

Passo 3

Agora vamos ver o caso do D e t A = 0 .

Agora minha matriz A vai ser A = 2 3 - 1 0 1 - 1 - 1 0 - 1 :

det ⁡ A = 2 3 - 1 0 1 - 1 - 1 0 - 1 = - 2 + 3 - 1 = 0

O determinante ser zero indica que temos linha(s) combinação(ões) linear(es) das outras, assim esse conjunto:

α = 2,0 , - 1 , 3,1 , 0 , ( - 1 , - 1 , - 1 )

É L D e portanto não é uma base do R 3 ! Assim, não posso afirmar que vou conseguir escrever qualquer vetor b como combinação deles.

Sabemos também que quando temos o número de variáveis maior que o de equações não redundantes, a solução, quando existe, não vai ser única.

Passo 4

Mas voltanto para a questão:

I - Se o sistema tem solução, então D e t ( A ) é diferente de 0.

É falsa, é possível que o determinante seja zero e o sistema tenha infinitas soluções!

Agora a segunda afirmativa

I I - Se o sistema não tem solução, então D e t ( A ) é igual a 0.

Provamos já que quando o sistema tem determinante diferente de zero ele necessariamente vai ter solução, já que as colunas formam base do espaço. Assim, quando não tem solução o determinante vai ser 0, é verdadeira!

Resposta

b

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