Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Sejam A e B matrizes quadradas n × n . Considere as afirmações abaixo:

(I) Se A e B são invertíveis, então AB é invertível.

(II) Se AB é invertível, então A e B são invertíveis.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Se A e B são invertíveis, então:

det ⁡ A ≠ 0

det ⁡ B ≠ 0

Como A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, podemos usar que:

det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B

E então sabemos que:

det ⁡ A B ≠ 0

Logo, AB também é invertível.

Passo 2

(II) Agora vamos fazer o caminho contrário.

Se AB é invertível, sabemos que:

det ⁡ A B ≠ 0

Mas A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:

det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B

Como esse produto não é zero:

det ⁡ A ≠ 0

det ⁡ B ≠ 0

Logo, tanto A quanto B são invertíveis.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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