Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 167-41.

Calcule a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 4 x + 1 no ponto ( 2,1 ) .

A partir da reta tangente, encontre as equações de mais duas retas:

  • Reta paralela
  • Reta perpendicular

Ambas passando pelo ponto ( 1 , - 2 ) .

Passo 1

Primeiro começamos calculando a reta tangente a função y = x 3 - 4 x + 1 . A equação geral da reta tangente é: y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ela passa pelo ponto ( 2,1 ) . Então: x 0 , f x 0 = ( 2,1 )

Substituindo: y - 1 = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular f ' ( 2 ) , basta derivar f ' ( x ) :

f ' x = 3 x ² - 4

No ponto x = 2 :

f ' 2 = 3 2 2 - 4 = 3 4 - 4 = 8

Pronto, já temos tudo que precisamos: y - 1 = f ' 2 x - 2 y - 1 = 8 x - 2 y = 8 x - 16 + 1

Deixando bonitinho: y t a n g e n t e = 8 x - 15

Passo 3

Acabou? Não! HAHAHA

Olha lá no enunciado de novo! Ele não quer só a reta tangente à curva, mas a paralela e a normal a essa reta que passam por um outro ponto! Esse outro ponto será o ( 1 , - 2 ) .

Sabemos que 2 retas paralelas entre si apresentam o mesmo coeficiente angular, certo?

Entãããoooo....A equação da reta paralela será:

y - y 0 = a ( x - x 0 )

Onde a coef. angular que a gente já sabe = 8 , x 0 = 1 e y 0 = - 2 . Logo, teremos:

y p a r a l e l a = 8 x - 10

Temos que calcular também a equação da reta normal. Ela vai seguir a equação geral da reta:

y - y 0 = m x - x 0

Ela passa pelo mesmo ponto da reta paralela ( x 0 , y 0 ) = ( 1 , - 2 ) . Looogooo: y - - 2 = m x - 1 y = m x - m - 2

Passo 4

Vamos considerar o y da reta paralela que calculamos como y 1 e y da reta normal como y 2 , só para diferenciá-los. Assim vai ficar: y 1 = 8 x - 10

y 2 = m x - m - 2

Precisamos achar o m .

Os coeficientes angulares da reta paralela e normal seguirão a equação: y 1 ' y 2 ' = - 1

O coeficiente angular de y 1 , derivando, vai ser: y 1 ' = 8

Derivando y 2 também: y 2 ' = m

Pronto, podemos relacionar os dois:

y 1 ' y 2 ' = - 1 8 m = - 1 m = - 1 8

Já temos tudo que queríamos:

y 2 = m x - m - 2 y 2 = - 1 8 x + 1 8 - 2

Para ficar bonitinho também: y n o r m a l = - 1 8 x - 15 8

Resposta

y t a n g e n t e = 8 x - 15

y p a r a l e l a = 8 x - 10

y n o r m a l = - 1 8 x - 15 8

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