Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Encontre as equações das retas tangente e normal à curva:

y = e 1 - x 2

Nos pontos onde essa curva intersecta a reta y = 1 .

Passo 1

A reta tangente num ponto qualquer x 0 , y 0 :

y - y 0 = y 0 ' x - x 0

E a da reta normal: y - y 0 = - 1 y 0 ' x - x 0  

Bem o problema disse o ponto y = 1 , mas precisamos achar o x correspondente para chegar a reta tangente. Para tal, substituindo o valor na equação: 1 = e 1 - x 2

Aplicando ln: ln ⁡ 1 = ln ⁡ e 1 - x 2 ⟹ 0 = 1 - x 2

x = ± 1

Temos dois pontos para x , então, vamos determinar duas retas tangentes e normais. Para substituir na equação geral da reta tangente do passo 1 , precisamos encontrar y ' . Para tal, vamos derivar. Pela regra da cadeia:

y ' = e 1 - x 2 ' = 1 - x 2 ' e 1 - x 2 = - 2 x e 1 - x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação da reta tangente no ponto - 1,1 , substituindo na equação geral do passo 1 :

y ' - 1 = - 2 - 1 e 1 - 1 = 2

y - y 0 = y 0 ' x - x 0 ⟹ y - 1 = 2 x + 1

y = 2 x + 3

Já para a reta normal:

y - y 0 = - 1 y 0 ' x - x 0 ⟹ y - 1 = - 1 2 x + 1

y = - 1 2 x + 1 2

Passo 3

Agora vamos para o ponto 1,1 :

y ' 1 = - 2 1 e 1 - 1 = - 2

Então a reta tangente será: y - y 0 = y 0 ' x - x 0 ⟹ y - 1 = - 2 x - 1

y = - 2 x + 3

E a reta normal:

y - y 0 = - 1 y 0 ' x - x 0 ⟹ y - 1 = 1 2 x - 1

y = 1 2 x + 1 2

Pronto!

Resposta

Retas tangentes:

y = 2 x + 3

y = - 2 x + 3

Retas normais:

y = - 1 2 x + 1 2

y = 1 2 x + 1 2

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