Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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Enunciado

Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e paralelas a reta s abaixo

f ( x ) = x 4 - 6 x 2 + x

s : y = 7 x + y - 4 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são paralelas a reta s . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico? Vamos revisar!

a reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função da a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

Mas a questão pede que a nossa reta tangente seja paralela a outra reta. Como levamos em consideração essa restrição? Para isso precisamos perceber que se duas retas são paralelas, então ela tem a mesma inclinação, isto é, tem o mesmo coeficiente angular. Isso quer dizer que se o coeficiente angular da reta s for α então

f ' ( x 0 ) = α

Ou seja, o coeficiente angular da nossa reta tangente também é α . E para isso, teremos que descobrir qual o valor de x 0 que satisfaz a equação acima.

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são paralelas a reta s . A nossa função f e reta s estão abaixo.

f ( x ) = x 4 - 6 x 2 + x

s : y = 7 x + y - 4 = 0

Vimos no passo anterior que para a reta tangente ser paralela a reta s elas precisavam ter o mesmo coeficiente angular. Vamos começar calculando o coeficiente angular da reta s . Vamos reescrever a reta s na forma

y = α x + b

Pois nessa forma, o coeficiente angular da reta é o termo que multiplica x . Então temos que:

s : y = 7 x + y - 4 = 0

⇒ s : y = - 7 x + 4

Logo o coeficiente angular da reta s é - 7 .

Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente a f em um ponto x 0 . Lembrando que a reta é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

E seu coeficiente angular é f ' ( x 0 ) . Vamos começar calculando a derivada de f . Como

f ( x ) = x 4 - 6 x 2 + x

Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( x 4 - 6 x 2 + x ) '

= ( x 4 ) ' - 6 ( x 2 ) ' + ( x ) '

= 4 x 3 - 12 x + 1

Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gráfico de f no ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = = 4 x 0 3 - 12 x 0 + 1

Bacana né?

Passo 3

Descobrimos que o coeficiente angular da reta s

s : y = 7 x + y - 4 = 0

é - 7

E que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em um ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = 4 x 0 3 - 12 x 0 + 1

Mas o enunciado pede que a nossa reta tangente seja paralela a reta s , e comentamos no passo 1 que isso só acontece se elas tiverem o mesmo coeficiente angular, isto é se

4 x 0 3 - 12 x 0 + 1 = - 7

⇒ 4 x 0 3 - 12 x 0 + 8 = 0

⇒ x 0 3 - 3 x 0 + 2 = 0

Geralmente achar as raízes de um polinômio de grau 3 é complicado, mas já podemos observar que 1 é raiz desse polinômio, então podemos reescrever da seguinte forma:

x 0 3 - 3 x 0 + 2 = ( x - 1 ) ( x 2 + x - 2 )

= ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 2 )

Ou seja, temos 3 raízes reais para esse polinômio, isso quer dizer que as retas tangentes que passa pelos pontos x 0 = 1 , x 0 = - 2 são paralelas a reta s . Vamos calcular essas retas.

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Passo 7

No passo anterior, descobrimos que as retas tangentes que passam pelos pontos x 0 = 1 , x 0 = - 2 , são paralelas a reta s . Vamos começar obtendo a reta tangente que passa por x 0 = 1 . Lembrando que a equação da reta tangente é:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

e que

f ( x ) = x 4 - 6 x 2 + x

f ' ( x ) = 4 x 3 - 12 x + 1

Substituindo x 0 = 1 , temos:

r 1 :   ( y - f ( 1 ) ) = f ' ( 1 ) ( x - 1 )

⇒ r 1 :   ( y + 4 ) = - 7 ( x - 1 )

Isolando y , obtemos

⇒ r 1 :   y = - 7 x + 3

Calculando a reta tangente que passa por x 0 = - 2

r 2 :   ( y - f ( - 2 ) ) = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

⇒ r 2 :   ( y + 10 ) = - 7 ( x + 2 )

Isolando y , obtemos

⇒ r 2 :   y = - 7 x - 24

Então as retas tangentes ao gráfico de f , e paralelas a reta s são as retas

r 1 :   y = - 7 x + 3

r 2 :   y = - 7 x - 24

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

r 1 :   y = - 7 x + 3

r 2 :   y = - 7 x - 24

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