Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Seja y = f ( x ) definida implicitamente pela equação x 2 - x x y + 2 y 2 = 10 . Encontre o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função f no ponto ( 4,1 ) .

Passo 1

Sabemos que coeficiente angular da reta normal é - 1 m , sendo m o coeficiente angular da reta tangente à uma função. Por isso vamos derivar implicitamente a equação dada e encontrar a derivada em função de x , que representa o coeficiente angular da reta tangente. Em seguida, vamos encontrar o coeficiente angular da reta normal usando a fórmula - 1 m .

2 x - x y - x 2 x y x y ' + 4 y . y ' = 0

2 x - x y - x ( y + x y ' ) 2 x y + 4 y . y ' = 0

2 x - 3 x y 2 - x y ' x y 2 y + 4 y . y ' = 0

- x y ' x y 2 y + 4 y . y ' = - 2 x + 3 x y 2

y ' 4 y - x x y 2 y = - 2 x + 3 x y 2

y ' = - 2 x + 3 x y 2 4 y - x x y 2 y

y ' = y ( - 4 x + 3 x y ) - 8 y 2 + x x y

Portanto,

m = y ( - 4 x + 3 x y ) - 8 y 2 + x x y

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Passo 2

Agora vamos determinar o coeficiente angular da reta normal.

n = - 1 y ( - 4 x + 3 x y ) - 8 y 2 + x x y

n = 8 y 2 - x x y - y ( 4 x - 3 x y )

Agora só precisamos substituir o ponto ( 4,1 ) na expressão acima.

n 4,1 = 8 . 1 2 - 4 4.1 - 1 4 . 4 - 3 4.1 = 8 - 4 . 2 - 1 ( 16 - 3 . 2 ) = 8 - 8 - 10 = 0

Resposta

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