Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

A reta x + y = 1 é paralela à reta tangente à elipse x 2 / 2 + y 2 = 1 no ponto P 0 com coordenadas:

  1. x = 2 3 / 3 , y 0 = 3 / 3 .
  2. x = - 2 3 / 3 , y 0 = 3 / 3 .
  3. x = 2 3 / 3 , y 0 = - 3 / 3 .
  4. x = 2 / 3 , y 0 = 2 / 3 .
  5. x = - 2 / 3 , y 0 = - 2 / 3 .

Passo 1

A questão pode parecer monstruosa assim de cara, mas vamos ver com calma. A primeira sacada aqui é: quando duas retas são paralelas? Quanto possuem a mesma derivada. Pimba!

Assim, precisamos que:

  x + y = 1

x 2 / 2 + y 2 = 1

Tenham mesmo y ' no ponto P 0 que queremos saber.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, então vamos derivar. Para a primeira: x + y = 1 → y = 1 - x

y ' = - 1

Passo 3

Para a segunda, vamos derivar implicitamente: x 2 2 + y 2 = 1

x + 2 y y ' = 0 → y ' = - x 2 y

Vamos fazer

P 0 = x 0 , y 0

Assim, a derivada nesse ponto vai ser

y ' = - x 0 2 y 0

Passo 4

Agora vamos igualar as duas derivadas para achar P 0 :

- x 0 2 y 0 = - 1 ⟹ x 0 = 2 y 0

Agora temos que ir vendo dentre as alternativas da questão, qual que vai ter

x 0 = 2 y 0

Olhando-as, dá para ver que, para P 0 = 2 3 3 , 3   3 temos justamente x 0 = 2 y 0 , Logo essa é a nossa alternativa correta.

Resposta

Alternativa (a).

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