Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Sendo:

y = x 3 - 6 x 2 + 15 x + 1

Determine:

  1. A reta tangente a essa curva em x = 1 .
  2. Outra reta tangente à essa curva para x ≠ 1 e paralela a reta do item a .

Passo 1

Está bem, vamos começar pela letra a . De maneira geral, a reta tangente tem forma no ponto x = 1 terá forma: y - y 1 = y ' 1 x - 1

Então, vamos determinar y 1 e y ' 1 para poder encontrá-la.

Para y 1 , substituímos x = 1 na função:

y 1 = 1 3 - 6 ⋅ 1 2 + 15 ⋅ 1 + 1 = 11

Já para y ' 1 , vamos primeiro derivar y :

y ' = x 3 - 6 x 2 + 15 x + 1 ' = 3 x 2 - 12 x + 15

Assim, no ponto x = 1 :

y ' 1 = 3 ⋅ 1 2 - 12 ⋅ 1 + 15 = 3 - 12 + 15 = 6

Agora que já achamos o que precisamos, vamos substituir na equação geral da reta tangente:

y - y 1 = y ' 1 x - 1 ⟹ y - 11 = 6 x - 1 ⟹ y = 6 x - 6 + 11

y = 6 x + 5

Pronto, essa é a reta tangente no ponto x = 1 .

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Passo 2

Agora vamos para a letra b . Ele quer uma outra reta tangente a curva dada, mas que seja paralela a reta tangente que a gente acabou de calcular.

Bem, duas retas são paralelas quando possuem a mesma inclinação. Assim, precisamos que essa segunda reta tenha inclinação 6 , assim como a primeira.

Vamos então achar um outro ponto da curva onde a derivada também é 6 . Pela expressão da derivada que achamos na letra anterior:

y ' = 3 x 2 - 12 x + 15 = 6

Ou seja: 3 x 2 - 12 x + 9 = 0

Por Bhaskara: x = + 12 ± 12 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 9 2 ⋅ 3 = 12 ± 144 - 108 6 = 12 ± 36 6 = 12 ± 6 6 = 2 ± 1

Assim sendo, temos a derivada igual a 6 para: x = 1 x = 3

x = 1 já era conhecido do item anterior, então é justamente x = 3 que queremos, pois nesse ponto a inclinação da reta tangente é a mesma da anterior e elas são, portanto, paralelas. Vamos determinar essa reta então.

De maneira geral, no ponto x = 3 :

y - y 3 = y ' 3 x - 3

Já sabemos que y ' 3 = 6 , vamos determinar então y 3 : y 3 = 3 3 - 6 ⋅ 3 2 + 15 ⋅ 3 + 1 = 27 - 54 + 45 + 1 = 19

Assim, substituindo na equação da reta: y - 19 = 6 x - 3 ⟹ y = 6 x - 18 + 19

y = 6 x + 1

Pronto!

Resposta

  1. y = 6 x + 5 .
  2. y = 6 x + 1 .

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