Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 210-70. MODIFICADO

Encontrem quantas retas são normais à curva x y + 2 x - y = 0 e paralelas à reta 2 x + y = 0 .

Passo 1

Aqui ele quer saber quantas retas normais são paralelas a reta dada. Então precisamos trabalhar com o coeficiente angular da reta normal!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não precisamos encontrar as equações das retas normais, só precisamos determinar quantas são.

Para diferenciar, vamos considerar y da primeira equação como y 1   e o y da segunda como y 2 .

Se o coeficiente angular das retas normais é m , então ele estará relacionado da seguinte maneira:

m y 1 ' = - 1

Passo 3

Se acharmos y 1 ' achamos m . Primeiro vamos isolar y 1 : x y 1 + 2 x - y 1 = 0 y 1 x - 1 + 2 x = 0 y 1 = - 2 x x - 1 Agora vamos derivar pela regra do quociente:

y 1 ' = - 2 x ' x - 1 - x - 1 ' ( - 2 x ) x - 1 2 = - 2 x - 1 + 2 x x - 1 2 = - 2 x + 2 + 2 x x - 1 2 = 2 x - 1 2

Assim:

m 2 x - 1 2 = - 1 m = - x - 1 2 2

Passo 4

Agora precisamos relacionar m com as retas paralelas.

As retas paralelas a 2 x + y 2 = 0 terão o mesmo coeficiente angular dessa, então, derivando: 2 x + y 2 = 0 y 2 = - 2 x y 2 ' = - 2

As retas normais a y 1 terão coeficiente angular m e as retas paralelas a y 2 terão coeficientes angulares y 2 ' .

Passo 5

A questão quer saber as retas normais a são paralelas a 2 x + y = 0 então: m = y 2 '

Substituindo: - x - 1 2 2 = - 2

x - 1 2 = 4 x - 1 = ± 2 x = ± 2 + 1

x pode valer:

x = + 2 + 1 = 3

Ou: x = - 2 + 1 = - 1

Existem duas soluções para retas normais a y 1 e paralelas a y 2 . Então há duas retas normais à curva x y + 2 x - y = 0 que são paralelas à reta 2 x + y = 0 .

Resposta

Duas

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