Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Regras de Derivação II

Em que ponto da curva dada pela equação

π - 2 arcsen ⁡ 1 - y 2 - 4 y - y 2 - x = 0                     c o m     0 < y < 4

A reta tangente é paralela à reta y - x = e ?

Passo 1

Retas paralelas tem o que em comum? Seu coeficiente angular!

A reta tangente pode ser melhor escrita por y = x + e . Essa reta tem coeficiente angular 1 . Ora, o coeficiente angular da reta é dado pela derivada de y em função de x num ponto qualquer.

Resumindo a questão: a gente está procurando para qual par de pontos x , y temos y ' = 1 .

Começamos derivando essa bagaça! Adianto, a gente vai precisar de bastaaaante algebrismo para solucionar essa situação.

π ' - 2 arcsen ⁡ 1 - y 2 ' - 4 y - y 2 ' - x ' = 0 '

0 - 2 1 - y 2 ' 1 - 1 - y 2 2 - 4 y - y 2 ' 2 4 y - y 2 - 1 = 0

y ' 1 - 1 + y - y 2 4 + y ' 2 y - 4 2 4 y - y 2 - 1 = 0

y ' y - y 2 4 + y ' 2 y - 4 2 4 y - y 2 - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora repara como podemos juntar esses dois termos grandões com raiz:

y ' y - y 2 4 + y ' 2 y - 4 2 4 y - y 2 4 = 1  

  y ' y - y 2 4 + y ' 2 y - 4 4 y - y 2 4 = 1

y ' + y ' y 2 - 1 y - y 2 4 = 1

y ' y 2 y - y 2 4 = 1

y ' y 2 = y - y 2 4

Substituímos y ' = 1 agora:

y 2 = y - y 2 4

y 2 2 = y - y 2 4 2

y 2 4 = y - y 2 4

y 2 2 - y = 0 → y y 2 - 1 = 0

y = 0   ; y = 2

Passo 3

Achamos dois valores de y válidos. Poréeeem, lá no enunciado o cara diz que 0 < y < 4 , ou seja, um intervalo entre 0 e 4 que não inclui os mesmos valores. Assim, o único ponto válido é y = 2 , pois 0 não está no intervalo de y . Vamos ver a quais valores de x correspondem:

y = 2     →     π - 2 arcsen ⁡ 1 - 2 2 - 4 2 - 2 2 - x = 0  

π - 2 arcsen ⁡ 0 - 8 - 4 - x = 0

π - 0 - 4 - x = 0

x = π - 2

Logo, a curva da questão tem uma tangente paralela à reta y - x = e em π - 2 , 2

Resposta

π - 2 , 2

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