Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2014.2 – 4

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo, r a reta tangente ao gráfico da f em x = 3 e s a reta tangente ao gráfico em x = - 2 .

Sabendo f - 2 = 1 , f ' 3 = 2 3 e a reta r é paralela à reta s , determine:

  1. A equação da reta s
  2. f ' - 2
  3. f 3

Passo 1

a ) A reta s é tangente à função f no ponto x 0 = - 2 . Se é tangente seguirá a equação geral da reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Como o ponto de tangência é x 0 = - 2 : y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y - f - 2 = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

O valor de f ( - 2 ) foi dado no enunciado, então podemos substituir também: y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 y - 1 = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Falta só o valor do coeficiente angular, f ' ( 2 ) .

Agora vai entrar a ideia das retas paralelas. O enunciado disse que as retas r e s são paralelas, ou seja, possuem o mesmo coeficiente angular.

O coeficiente angular da reta r é f ' 3 que foi dado no enunciado. Dessa forma:

f ' 3 = 2 3 = f ' ( - 2 )

Pronto, já temos tudo que precisamos!

y - 1 = f ' - 2 x + 2 y - 1 = 2 3 x + 2

Para ficar bonitinho: y = 2 3 x + 4 3 + 3 3 y = 2 3 x + 7 3 y = 1 3 ( 2 x + 7 )

Passo 3

b )

Já vimos ali no passo 1 que a derivada vai ser

f ' - 2 = 2 3

Passo 4

c )

Para achar o valor de f 3 vamos olhar a reta tangente que passa por 3 , f 3 , a reta r .

Conhecemos um ponto que passa por essa reta, é aquele na parte de baixo, onde a reta corta o eixo y , 0 , - 5 3 . A equação da reta tangente vai ser:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 y - f 3 = f ' ( 3 ) ( x - 3 )

y - f 3 = 2 3 ( x - 3 )   y = 2 3 x - 2 + f 3

Passo 5

Vamos agora trocar o valor de x e y por aquele ponto que pertente a reta:

y = 2 3 x - 2 + f 3

- 5 3 = 2 3 0 - 2 + f 3

- 5 3 + 2 = f 3

6 - 5 3 = f 3

f 3 = 1 3

Resposta

  1. y = 1 3 ( 2 x + 7 )
  2. f ' - 2 = 2 3
  3. f 3 = 1 3

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