Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

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Enunciado

Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função a seguir e perpendicular a reta n abaixo

f ( x ) = x 2 + 2 x - 1

n : x + 2 y - 5 = 0

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são perpendiculares a reta s . Vocês lembram da definição da reta tangente ao gráfico, e reta normal? Vamos revisar!

A reta r tangente ao gráfico da função f no ponto x = x 0 é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, ela depende da derivada de f . O que faz sentido, já que a derivada de uma função dá a inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função.

e o que seria a reta normal? Ora é a reta PERPENDICULAR à reta tangente. Então, se

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

é a reta tangente ao gráfico no ponto x = x 0 . A reta normal nesse ponto será:

n :   ( y - f ( x 0 ) ) = - 1 f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ou seja, o enunciado já nos informa qual é a reta normal, e ele quer que calculemos as retas tangentes ao gráfico de f que são perpendiculares a reta

n : x + 2 y - 5 = 0

Com isso em mente, vamos calcular a nossa reta de interesse:

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar as retas tangentes ao gráfico de f e que são perpendiculares a reta s . A nossa função f e reta s estão abaixo.

f ( x ) = x 2 + 2 x - 1

n : x + 2 y - 5 = 0

O enunciado nos dá a reta perpendicular, como podemos usar essa informação para descobrir qual é a reta tangente? Bem, se α é o coeficiente angular da reta ortogonal, então o coeficiente angular da reta tangente será - 1 / α . Então vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente.

Usando o fato que se uma reta é descrita na forma

y = α x + b

então o coeficiente angular da reta é o termo que multiplica x . Então temos que:

n : x + 2 y - 5 = 0

⇒ n : y = - x / 2 + 5 / 2

Usando o fato acima, temos que o coeficiente angular da reta ortogonal n é - 1 / 2 .

Logo, o coeficiente da reta tangente ao gráfico de f que é perpendicular a reta n é

- 1 - 1 / 2 = 2

Nós obtemos o coeficiente da reta tangente. Agora precisamos descobrir quais os pontos x = x 0 cuja reta tangente a f tem a inclinação igual a 2 , ou seja, os pontos onde

f ' ( x 0 ) = 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o coeficiente da reta tangente a f em um ponto x 0 . de forma que

f ' ( x 0 ) = 2

Lembrando que a reta tangente é dada por:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

E seu coeficiente angular é f ' ( x 0 ) . Vamos começar calculando a derivada de f . Como

f ( x ) = x 2 + 2 x - 1

Usando a regra da derivada de função polinomial, temos que:

( x p ) ' = p ( x p - 1 )

então, pela regra e pela linearidade da derivada, temos que

f ' ( x ) = ( x 2 + 2 x - 1 ) '

= ( x 2 ) ' - 2 ( x ) ' - ( 1 ) '

= 2 x - 2

Ou seja, o coeficiente angular de qualquer reta tangente ao gr��fico de f no ponto x = x 0 é dada por

f ' ( x 0 ) = 2 x 0 - 2

Bacana né?

Passo 4

Descobrimos que o coeficiente angular da reta tangente precisa ser 2 . O que implica que

f ' ( x 0 ) = 2

Mas já calculamos f ' ( x 0 ) no passo anterior. então temos que

2 x 0 - 2 = 2

⇒ x 0 = 2

Ou seja, a nossa reta tangente passa no ponto x 0 = 2

Vamos calcular essa reta.

Lembrando que a equação da reta tangente é:

r :   ( y - f ( x 0 ) ) = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

e que

f ( x ) = x 2 + 2 x - 1

f ' ( x 0 ) = 2 x 0 - 2

Substituindo x 0 = 2 , temos:

r :   ( y - f ( 2 ) ) = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

⇒ r :   ( y - 7 ) = 2 ( x - 2 )

Isolando y , obtemos

⇒ r :   y = 2 x + 3

Então a reta tangente ao gráfico de f , e perpendicular a reta n é a reta

r :   y = 2 x + 3

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

r :   y = 2 x + 3

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