Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Regras de Derivação II

Sejam m e b constantes e f :   R → R dada por:

f x = 3 x 2                             ,       s e     x ≥ 1 m x + b                 ,       s e     x < 1

( a ) Encontre os valores de m e b para que f seja derivável em x = 1 .

( b ) Com os valores de m e b do item ( a ) , encontre o ponto do gráfico de f ( x ) onde a reta tangente é paralela à reta y = 18 x - 7 .

Passo 1

a )

Para que ela seja derivável em 1 a definição de derivada deve valer, ou seja:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1

Só que para que ela seja derivável ela precisa ser contínua também. Isso pede essa equação aqui também:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

De acordo com a existência de f ( x ) temos que o limite com x → 1 + será igual a f ( 1 ) já que esse domínio é válido para x maior ou igual a 1 . Assim:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

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Passo 2

Temos um sistema a ser resolvido:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

lim x → 1 + ⁡ 3 x 2 - 3 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ m x + b - m 1 - b x - 1 lim x → 1 - ⁡ m x + b = 3 ( 1 ) 2

(Posso abrir 3 x 2 - 3 em 3 x 2 - 1 = 3 ( x + 1 ) ( x - 1 ) . Corto com o ( x - 1 ) por baixo, fica 3 ( x + 1 ) só. Já o m x - m é igual a m ( x - 1 ) , que também pode cortar com ( x - 1 ) abaixo)

lim x → 1 + ⁡ 3 ( x + 1 ) = lim x → 1 - ⁡ m m ( 1 ) + b = 3

m = 6 m + b = 3

Bom, já temos m = 6 . Pela segunda equação, b = 3 - m = 3 - 6 = - 3 . Terminamos aqui!

Passo 3

b )

Desejamos descobrir onde a reta tangente ao gráfico é paralela a 18 x - 7 . Sabemos que retas paralelas tem a mesma inclinação, o que corresponde a mesmo coeficiente angular, no caso é 18 . Agora, levando em conta que uma reta tangente a um gráfico tem coeficiente angular dado pela derivada no ponto em questão, procuramos o x cuja derivada vale 18 , sim?

A função derivada seria assim:

f ' x = 3 x 2 '                             ,       s e     x ≥ 1 ( 6 x - 3 ) '                 ,       s e     x < 1

= 6 x                             ,       s e     x ≥ 1 6                               ,       s e     x < 1

Como vemos, a derivada antes de x = 1 é sempre 6 . Nesse intervalo ela nunca será 18 , né? Bom, no outro pedaço nós temos 6 x . Quando essa derivada vale 18, fica assim:

6 x = 18 → x = 3

x = 3 é ≥ 1 , o que garante que esse ponto existe no intervalo onde a derivada vale 6 x (intervalo x ≥ 1 ). Assim, achamos nosso ponto, onde f 3 = 3 3 2 = 27

O ponto é ( 3,27 ) .

Resposta

a )       m = 6 ; b = - 3

b )       ( 3,27 )

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