Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Q03b) Seja f : I R → I R dada por

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

Encontre o ponto do gráfico de f x onde a reta tangente é paralela à reta y = 24 x + 5

Passo 1

Eita, questão de reta tangente e paralela com uma função definida por partes? Agora enrolou! Calma gafanhoto, não precisa arrancar cabelos. Vem comigo que a gente resolve. Veja bem, se a equação da reta tangente é:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m = f ' x 0 , podemos ver que o que queremos é exatamente o ponto de tangência. Mas como achar se eu não sei nada??? Bem, uma coisa ao menos a gente sabe:

f x = 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 8 x - 2 ,     x < 1

E se m = f ' x 0 , um bom primeiro passo é a gente derivar cada uma das leis de formação:

f ' x = 8 x   ,     x > 1 8 ,     x < 1

Só que olha a sagacidade, se eu sei f x e sei que x 0 , y 0 = x 0 , f x 0 , me falta só uma coisinha: achar x 0 ! Pra isso, vamos substituir:

m = f ' x 0 = 8 x 0   ,     x > 1 8 ,     x < 1

Ok, mas e daí? O que fazer com isso? Saca só, se a reta tangente é paralela a y = 24 x + 5 , as duas retas tem que ter o mesmo coeficiente angular! Sendo assim:

m = f ' x 0 = 24 = 8 x 0   ,     x > 1 8 ,     x < 1

Como não da pra dizer que 24 = 8 né, o único jeito de isso ser verdade é fazendo:

8 x 0 = 24

x 0 = 3

Fechamos então, o ponto de tangência vai ser:

3 , f 3

Onde a lei de formação de f x pra x = 3 é 4 x 2 + 3   ,     x ≥ 1 , logo:

f 3 = 4 ∙ 3 2 + 3 = 39

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Resposta

3 , 39

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