Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

2) Considere a função f : 0,2 → R cujo gráfico é metade de uma semicircunferência, como esboçado abaixo:

  1. Determine a expressão da função f
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f que é paralela y = - x 3 + 2 .

Passo 1

Pra começar, vamos achar quem é essa tal de f . Veja bem, como temos uma semicircunferência e a equação do círculo é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Onde x 0 , y 0 é o centro da circunferência e r é o raio, como ela está centrada na origem e temos raio igual à 2 vamos ter:

x 2 + y 2 = 4

Escrevendo y como uma função de x , ficamos com:

y 2 = 4 - x 2

y = ± 4 - x 2

Opa, peraí. Duas equações? Pois é, temos uma versão positiva e outra negativa. Como a semicircunferência que queremos está acima do eixo x , a expressão de f então vai ser a versão positiva, beleza? E logo:

y = f x = 4 - x 2

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Passo 2

Agora bora achar a equação da reta tangente. De forma geral, uma reta tangente tem a seguinte fórmula:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto de tangência e m é a inclinação da reta tangente. Ok, mas e daí? Veja bem, se a reta tangente que queremos é paralela à:

y = - x 3 + 2

Então a inclinação vai ter que ser a mesma! O valor de m então já sabemos, vai ser:

m = - 1 3

Mas e o ponto de tangência? Como achar? Veja bem, a primeira derivada de uma função nos dá exatamente a inclinação da reta tangente, não é mesmo? Então, no ponto de tangência:

m = f ' x 0

Derivando nossa f então, pela regra da cadeia, temos:

f ' x = 4 - x 2 '

f ' x = 1 2 4 - x 2 4 - x 2 '

f ' x = - 2 x 2 4 - x 2 = - x 4 - x 2

E logo, o valor de x 0 vai ser:

- 1 3 = - x 0 4 - x 0 2

4 - x 0 2 = 3 x 0

4 - x 0 2 = 3 x 0 2

4 = 4 x 0 2

x 0 2 = 1

x 0 = ± 1

Só que aí vamos descartar x 0 = - 1   porque f ta dentro do primeiro quadrante, beleza? Sendo assim:

x 0 = 1

E pra fechar com chave de ouro, vai faltar só a gente achar y 0 . Como y 0 = f x 0 , vamos ter: y 0 = f 1 = 4 - 1 2 = 3

Show de bola, a equação da reta tangente vai ser então:

y - 3 = - 1 3 x - 1

y = - x 3 + 1 3 + 3

y = - x 3 + 4 3 3

Resposta

  1. f x = 4 - x 2
  2. y = - x 3 + 4 3 3

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