Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Regras de Derivação II

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo, r a reta tangente ao gráfico da f em x = 3 e s a reta tangente ao gráfico em x = - 2 .

Sabendo f - 2 = 1 , f ' 3 = 2 3 e a reta r é paralela a reta s , determine:

  1. A equação da reta s
  2. f ' - 2
  3. f 3

Passo 1

a )

Lembra como encontramos a reta tangente? Precisamos da derivada naquele ponto. A equação da reta tangente vai ser

y - 1 x - - 2 = f ' - 2

A inclinação da reta vai ser a derivada, mas se ele disse que as retas são paralelas elas tem a mesma inclinação, isso nos diz que

f ' - 2 = f ' 3 = 2 3

Substituindo isso na equação da reta tangente vamos ter

y - 1 x - - 2 = f ' - 2

y - 1 x + 2 = 2 3

Multiplicando cruzado

3 y - 3 = 2 x + 4

3 y = 2 x + 4 + 3

3 y = 2 x + 7

y = 2 3 x + 7 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Já vimos ali no passo 1 que a derivada vai ser

f ' - 2 = 2 3

Passo 3

c )

Para achar o valor de f 3 vamos olhar a reta tangente que passa por 3 , f 3 , vamos fazer isso porque sabemos um ponto que passa por essa reta, é aquele na parte de baixo, onde a reta corta o eixo y , 0 , - 5 3 . A equação da reta tangente vai ser

y - f 3 x - 3 = 2 3

Multiplicando cruzado

3 y - 3 f 3 = 2 x - 6

3 y = 2 x - 6 + 3 f 3

y = 2 3 x - 2 + f 3

Temos a equação da reta tangente

Passo 4

Vamos agora trocar o valor daquele ponto que pertente a reta na equação

y = 2 3 x - 2 + f 3

- 5 3 = 2 3 ∙ 0 - 2 + f 3

- 5 3 + 2 = f 3

6 - 5 3 = f 3

f 3 = 1 3

Resposta

  1. y = 2 3 x + 7 3
  2. f ' - 2 = 2 3
  3. f 3 = 1 3

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