Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

Considere a função f x = a r c t g e π x + a x , onde a ∈ R .

a) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de f em x = 0 é paralela à reta y = π x 4 + 3 , determine o valor da constante a .

b) Atribua à constante a o valor encontrado no item anterior. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de absicissa x = ln ⁡ 3 π .

Passo 1

a) Oláaa! Para duas retas serem paralelas, elas precisam ter os coeficientes angulares iguais.

Temos a reta

y = π x 4 + 3

O coeficiente angular dela é

π 4

Já o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x = 0 , é a derivada de f no ponto x = 0 . Assim:

m = f ' 0

Como elas são paralelas, podemos dizer que

π 4 = f ' 0

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Passo 2

Vamos calcular essa derivada. Nossa função é:

f x = a r c t g e π x + a x

A derivada fica:

f ' x = ( a r c t g e π x ) ' + a x '

Já que a gente sabe que a é uma constante,

a x ' = a

O outro termo, a gente repara que é uma derivada de uma função composta. Aí a gente vai precisar usar a regra da cadeia.

Só vou te lembrar a derivada de a r c t g x :

a r c t g x ' = 1 1 + x 2

Aí usando a regra da cadeia no nosso termo:

a r c t g e π x ' = 1 1 + e π x 2 ⋅ e π x ' = 1 1 + e π x 2 ⋅ π e π x = π e π x 1 + e π x 2

Nosso derivada completinha fica:

f ' x = π e π x 1 + e π x 2 + a

Passo 3

Agora vamos substituir x = 0 nela:

f ' 0 = π e 0 1 + e 0 2 + a = π 1 + 1 + a

f ' 0 = π 2 + a

E a gente viu que

π 4 = f ' 0

Então:

π 4 = π 2 + a ∴ a = π 4 - π 2

a = - π 4

Passo 4

b) Cara, o que a gente precisa fazer aqui é usar a fórmulinha na equação da reta tangente:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

E para gente,

x 0 = ln ⁡ 3 π

E

y 0 = f x 0 = f ln ⁡ 3 π

A parada é calcular cada pecinha dessa e montar nossa equação. Vem!

Passo 5

Temos a expressão completinha da função e da sua derivada agora:

f x = a r c t g e π x + a x

f ' x = π e π x 1 + e π x 2 + a

Já que:

a = - π 4

Temos

f x = a r c t g e π x - π 4 x

f ' x = π e π x 1 + e π x 2 - π 4

Achando y 0 :

y 0 = f ln ⁡ 3 π = a r c t g e π ln ⁡ 3 π - π 4 ln ⁡ 3 π

y 0 = a r c t g e ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3 4

Usando a propriedade bonita de log:

y 0 = a r c t g 3 - ln ⁡ 3 4

Como a r c t g 3 = π / 3 ,

y 0 = π 3 - ln ⁡ 3 4

Passo 6

E a derivada:

f ' x = π e π x 1 + e π x 2 - π 4

Em x = ln ⁡ 3 π :

f ' x 0 = f ' ln ⁡ 3 π = π e π ln ⁡ 3 π 1 + e π ln ⁡ 3 π 2 - π 4

f ' x 0 = π e ln ⁡ 3 1 + e ln ⁡ 3 2 - π 4 = π 3 1 + 3 - π 4 = π 3 4 - π 4

Passo 7

Substituindo tudo o que a gente tem na fórmulinha:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

y - π 3 + ln ⁡ 3 4 = π 3 4 - π 4 x - ln ⁡ 3 π

y = π 3 4 - π 4 x - ln ⁡ 3 π + π 3 - ln ⁡ 3 4

Resposta

a) a = - π 4

b) y = π 3 4 - π 4 x - ln ⁡ 3 π + π 3 - ln ⁡ 3 4

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