Exercícios Resolvidos de Retas Paralelas e Perpendiculares

UFF, Cálculo IA-Lista 6, GMA, 2008-1, Questão 4

Quantas retas tangentes ao gráfico de y = x 3 + 3 x são paralelas à reta y = 6 x + 1 ? Determine as equações dessas retas.

Passo 1

Primeiro vamos determinar a expressão geral da derivada de x 3 + 3 x .

f ' x = 3 x 2 + 3

Sabemos que retas paralelas têm coeficientes angulares iguais e que a derivada representa o coeficiente angular. Então vamos igualar f ' ( x ) ao coeficiente angular de 6 x + 1 .

3 x 2 + 3 = 6

3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 - 1 = 0

x 2 - 1 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

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Passo 2

Como encontramos dois valores para x significa que teremos duas retas. Vamos começar pela reta tangente a x 3 + 3 x e paralela a 6 x + 1 em x = 1 . Nesse ponto a função assume o valor

f 1 = 1 3 + 3.1 = 4

E sua derivada é

f ' 1 = 3.1 2 + 3 = 6

A reta tangente fica assim:

f 1 = f ' 1 . 1 + b

4 = 6.1 + b

b = - 2

Portanto a equação da reta é

y = 6 x - 2

Passo 3

Agora a reta no ponto x = - 1 .

f - 1 = ( - 1 ) 3 + 3 - 1 = - 4

f ' - 1 = 3 ( - 1 ) 2 + 3 = 6

Achando b :

- 4 = 6 - 1 + b

2

Portanto,

y = 6 x + 2

Resposta

y = 6 x + 2

y = 6 x - 2

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