Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4

Passo 1

Cara, tá bem? Repara que a gente tem no limite o termo

x 4 x 4 + y 4

Ele tem termos positivos somados no denominador, e todos os termos tem o mesmo expoente par. A gente pode tentar usar teorema do confronto nesse limite. Vem comigo para ver como!

A gente pode dizer que

0 ≤ x 4 ≤ x 4 + y 4

Isso porque x 4 é sempre positivo, e y 4 também. Vamos dividir tudo por x 4 + y 4 :

0 ≤ x 4 x 4 + y 4 ≤ 1

Ihhh, olha só esse termo está entre 0 e 1! Outra dica para tentar o teorema do confronto!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos deixar essa função do meio igual a função do nosso limite. Tudo que a gente precisa fazer é multiplicar todos os termos por e - 1 x 2 + y 2 :

0 ≤ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4 ≤ e - 1 x 2 + y 2

Aí aplicando limite x , y → 0,0 dos dois lados:

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4 ≤ e - ∞

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4 ≤ 0

Aí pelo teorema do confronto

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 e - 1 x 2 + y 2 x 4 + y 4 = 0

Arrasamos!

Resposta

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