Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos primeiro tentar substituir os valores x , y , z = ( 0 , 0 , 0 ) :

lim x , y , z - ( 0,0 , 0 ) ⁡ x 2 z x 2 + y 2 + z 2 = lim x , y , z - ( 0,0 , 0 ) ⁡ 0 2 0 0 2 + 0 2 + 0 2

E caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, então vamos tentar aplicar o Teorema do Sanduíche! :)

Vamos dar uma olhada na expressão do limite:

x 2 z x 2 + y 2 + z 2

A gente tem que limitar alguma coisa, criando uma inequação.

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2

Dividindo tudo por x 2 + y 2 + z 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 3

Beleza, então essa expressão é limitada. E também temos que

lim x , y , z - ( 0,0 , 0 ) ⁡ z = 0

Logo, pelo teorema do anulamento, diretamente temos que

lim x , y , z - ( 0,0 , 0 ) ⁡ z ∙ x 2 x 2 + y 2 + z 2 = 0

Resposta

L = 0

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