Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos começar fazendo nossa substituição de sempre:

lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ s 3 - t 3 s 2 + t 2 = lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ 0 3 - 0 3 0 2 + 0 2 = 0 0

Como já era de se esperar...

Então vamos arrumar um jeito de sair disso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos olhar bem de pertinho a expressão desse limite:

s 3 - t 3 s 2 + t 2

WTF, qq eu vô fazê com esse danado???

Pois é, de imediato assim eu também não fazia a menor ideia.

Mas aí resolvi começar separando essa expressão em duas:

s 3 - t 3 s 2 + t 2 = s 3 s 2 + t 2 - t 3 s 2 + t 2

E então me lembrei de uma coisa chamada desigualdade triangular, que diz o seguinte:

a - b ≤ a + b

Então,

s 3 s 2 + t 2 - t 3 s 2 + t 2 ≤ s 3 s 2 + t 2 + t 3 s 2 + t 2

Passo 3

Beleza, estamos com isso aqui então:

s 3 s 2 + t 2 + t 3 s 2 + t 2

Acontece que ainda podemos abrir isso um pouco mais, assim:

s 3 s 2 + t 2 + t 3 s 2 + t 2 ≤ s 2 s s 2 + t 2 + t 2 t s 2 + t 2

E, ainda, sabemos que:

t = t 2 ,     s ≤ s 2

Então

s 3 - t 3 s 2 + t 2 ≤ s 2 s 2 s 2 + t 2 + t 2 t 2 s 2 + t 2

Passo 4

Tá, mas isso ainda não parece estar ajudando muito a gente.

Mas veja bem:

s 2 ≤ s 2 + t 2

E

t 2 ≤ s 2 + t 2

Substituindo isso no que a gente já tem, ficamos com

s 3 - t 3 s 2 + t 2 ≤ s 2 s 2 s 2 + t 2 + t 2 t 2 s 2 + t 2 ≤ s 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2 + t 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2

E agora a gente pode pegar isso que separamos e juntar de novo, hehe

Passo 5

Aí você deve estar pensando:

Oxi, mas tu é doida?? Separou pra juntar?

Calma, não sou doida!

Mas olha bem no que a gente chegou. Olha bem como vai ficar se juntarmos de novo:

s 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2 + t 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2 = s 2 + t 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2

Ou seja

s 3 - t 3 s 2 + t 2 ≤ s 2 + t 2 s 2 + t 2 s 2 + t 2

E ai agora a gente pode cortar ( s 2 + t 2 ) do numerador com o do denominador.

s 3 - t 3 s 2 + t 2 ≤ s 2 + t 2

Passo 6

Assim, nosso limite fica:

lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ s 3 - t 3 s 2 + t 2 ≤ lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ s 2 + t 2

E agora a gente pode fazer uma simples substituição nesse limite:

lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ 0 2 + 0 2 = 0

Então

lim s , t → ( 0,0 ) ⁡ s 3 - t 3 s 2 + t 2 = 0

UFA!

Resposta

L = 0

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