Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Calcule, caso exista

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4

Passo 1

Vamos começar tentando fazer a substituição nesse limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ e 0 2 0 2 - 1 0 2 + 0 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - 1 0 + 0 = 0 0

Como já era de se esperar, caímos na tal da indeterminação.

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Passo 2

Para sair dessa indeterminação, vamos tentar organizar a expressão da função do limite de outra forma para ver se temos alguma ideia:

e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = ( e x 2 y 2 - 1 ) ∙ 1 x 2 + y 4

Tá, ainda não parece que ajudou alguma coisa, mas, o termo que tem a exponencial está muito próximo da expressão do limite fundamental exponencial:

lim X → 0 ⁡ e X - 1 X = 1

Para chegamos nessa expressão do limite fundamental bastava que tivéssemos x 2 y 2 no denominador também.

Ora, mas a gente pode ter. É só multiplicar em cima e em baixo por x 2 y 2 que não alteramos nossa função original, mas chegamos no limite fundamental. Assim,

e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = e x 2 y 2 - 1 ∙ 1 x 2 + y 4 ∙ x 2 y 2 x 2 y 2  

e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = e x 2 y 2 - 1 x 2 y 2 ∙ x 2 y 2 x 2 + y 4

Beleza, então já sabemos que essa primeira parte do nosso limite vale 1.

Passo 3

Agora vamos a segunda parte do nosso limite:

x 2 y 2 x 2 + y 4

Vamos tentar reescrever isso também:

x 2 y 2 x 2 + y 4 = x 2 x 2 + y 4 ⋅ y 2

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Para isso, vamos colocar a expressão entre extremos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 4

⇒ 0 ≤ x 2 x 2 + y 4 ≤ 1

Multiplicando por y 2 para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 ≤ x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ y 2

0 ≤ x 2 y 2 x 2 + y 2 ⏟ f ( x , y ) ≤ y 2

Passo 5

Agora, tirando os limites:

l i m x , y → ( 0,0 ) 0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y 2

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Logo, pelo teorema do sanduíche:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 y 2 x 2 + y 2 = 0

Passo 6

Show, então calculamos os limites das duas “partes” que compunham nossa função original. Vamos juntar tudo:

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 y 2 ∙ x 2 y 2 x 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 y 2 ∙ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 + y 4

Substituindo os valores que encontramos para os limites:

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = 1 ∙ 0

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = 0

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ e x 2 y 2 - 1 x 2 + y 4 = 0

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