Exercícios Resolvidos de Teorema do Sanduíche para Funções de Várias Variáveis

Calcule o seguinte limite, caso exista:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2

Passo 1

Primeiramente, respira.

Já dá pra ver se cara que se tentarmos simples substituição vai dar ko porque tem x e y multiplicando em cima e sendo somados em baixo, então vai ficar indeterminação 0 0 .

Assim, vamos buscar outra forma de resolver esse limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2

Vamos reparar uma coisa no argumento do seno:

x 2 y 3 x 2 + y 2 = y 3 x 2 x 2 + y 2

Mas a gente lembra que

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Multiplicando os dois lados por y 3 e aplicando o limite x , y → 0,0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ y 3

0 ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 ≤ 0

Aí pelo teorema do sanduíche:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 = s e n 0 = 0

Ok, vamos guardar essa informação no coração, tá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente tem o termo do limite para analisar:

x y 2 x 2 + y 4

Como tem esse x 2 + y 4 no denominador e y 2 no numerador, a gente não consegue dizer que essa função está entre 0 e 1, mas será que ela é uma função limitada entre outros valores?

Repara que a gente pode escrever que

x - y 2 2 = x 2 - 2 x y 2 + y 4 ∴ x - y 2 + 2 x y 2 = x 2 + y 4

Isso fica bem parecido com o nosso denominador, né?

Agora repara que

0 ≤ x - y 2 2

2 x y 2 ≤ x - y 2 + 2 x y 2

Como x - y 2 + 2 x y 2 = x 2 + y 4 :

2 x y 2 ≤ x 2 + y 4 ∴ 2 x y 2 x 2 + y 4 ≤ 1 ∴ x y 2 x 2 + y 4 ≤ 1 2

Ih olha só essa é a função do limite! Podemos fazer a mesma sacada, mas agora falando que

x + y 2 2 = x 2 + 2 x y 2 + y 4 ∴ x - y 2 - 2 x y 2 = x 2 + y 4

0 ≤ x + y 2 2

- 2 x y 2 ≤ x + y 2 - 2 x y 2

Como x + y 2 - 2 x y 2 = x 2 + y 4 :

- 2 x y 2 ≤ x 2 + y 4 ∴ - 2 x y 2 x 2 + y 4 ≤ 1 ∴ x y 2 x 2 + y 4 ≥ - 1 2

Daí a gente vê que

- 1 2 ≤ x y 2 x 2 + y 4 ≤ 1 2

Logo essa função é limitada sim!

Passo 3

Chegamos onde a gente queria então.

Esse limite aqui

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2

É nada mais nada menos do que o produto de uma função cujo limite vai a zero (que é o seno) com uma função limitada (que é essa fração).

Assim, pelo teorema do anulamento,

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 = 0

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 sin ⁡ x 2 y 3 x 2 + y 2 = 0

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